ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Из точки $E$, лежащей на медиане $AD$ треугольника $ABC$, опущен перпендикуляр $EF$ на сторону $BC$. Из точки $M$, лежащей на прямой $EF$, опущены перпендикуляры $MN$ и $MP$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Оказалось, что точки $N$, $E$ и $P$ лежат на одной прямой. Докажите, что точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$


Решение:


Через точку $E$ проведём прямую, параллельную $BC$. Пусть она пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Из точек $E$ и $P$ отрезок $MX$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $MX$. Аналогично, точки $E$, $N$, $Y$, $M$ лежат на окружности с диаметром $MY$. Тогда

$\angle PXM=\angle PEM=180^{\circ}-\angle NEM=\angle NYM=\angle AYM.$

Значит, точки $A$, $X$, $M$, $Y$ лежат на одной окружности, поэтому

$\angle XAM=\angle XYM,~\angle MAY=\angle MXY.$

Из параллельности $XY$ и $BC$ получаем

$XE:BD=AE:AD=EY:DC,$

а т.к. $BD=DC$, то $XE=EY$, и в треугольнике $XMY$ высота является медианой. Значит, этот треугольник равнобедренный, и $\angle EXM=\angle EYM$. Следовательно,

$\angle XAM=\angle XYM=\angle MXY=\angle MAY,$

т.е. точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$. Что и требовалось доказать