ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Дан остроугольный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=b$ и $AB=c$. Биссектриса угла $A$ пересекает его описанную окружность в точке $A_{1}$. Точка $D$ - проекция $A_{1}$ на прямую $AB$, точки $L$ и $M$ - середины сторон $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что:
а) $AD=\frac{b+c}{2}$;
б) $A_{1}D=OM+OL$


Решение:


а) См. задачу 3976.
б) Обозначим $\angle B=\beta$. Пусть $P$ - середина стороны $BC$, а $Q$ - проекция центра $O$ описанной окружности на прямую $A_{1}D$. Точка $A_{1}$, как и точка $O$, равноудалена от концов отрезка $BC$, значит, $OA_{1}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Из точек $D$ и $P$ отрезок $A_{1}B$ виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник $BDA_{1}P$ вписанный. Значит,

$\angle QA_{1}O=\angle DA_{1}P=\angle ABC=\beta.$

С другой стороны, $\angle AOL=\beta$ как половина центрального угла $AOC$. Значит, прямоугольные треугольники $OQA_{1}$ и $ALO$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $A_{1}Q=OL$, а т.к. $DA_{1}OM$ - прямоугольник, то $QD=OM$. Следовательно,

$A_{1}D=QD+A_{1}Q=OM+OL.$

Что и требовалось доказать