Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16478
2026-02-19 
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей внутри четырёхугольника. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, а площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $S$. Докажите, что:
а) $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}$;
б) неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны
Решение:
Пусть площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны $S_{3}$ и $S_{4}$ соответственно, $OB=a$ и $OD=b$. Тогда
$\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}~\Leftrightarrow~S_{1}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2}\leq S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}~\Leftrightarrow~2\sqrt{S_{1}S_{2}}\leq S_{3}+S_{4},$
а т.к.
$\frac{S_{4}}{S_{1}}=\frac{DO}{OB}=\frac{b}{a}~\mbox{и}~\frac{S_{3}}{S_{2}}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b},$
то
$S_{3}+S_{4}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}+\frac{b}{a}\cdot S_{2}\geq2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot S_{1}\cdot\frac{b}{a}\cdot S_{2}}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}.$
Что и требовалось доказать
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
$S_{3}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}=\frac{b}{a}\cdot S_{2}=S_{4},$
т.е. когда $AB\parallel CD$ (см. задачу 7357)
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей внутри четырёхугольника. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, а площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $S$. Докажите, что:
а) $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}$;
б) неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны
Решение:
Пусть площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны $S_{3}$ и $S_{4}$ соответственно, $OB=a$ и $OD=b$. Тогда
$\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}~\Leftrightarrow~S_{1}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2}\leq S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}~\Leftrightarrow~2\sqrt{S_{1}S_{2}}\leq S_{3}+S_{4},$
а т.к.
$\frac{S_{4}}{S_{1}}=\frac{DO}{OB}=\frac{b}{a}~\mbox{и}~\frac{S_{3}}{S_{2}}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b},$
то
$S_{3}+S_{4}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}+\frac{b}{a}\cdot S_{2}\geq2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot S_{1}\cdot\frac{b}{a}\cdot S_{2}}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}.$
Что и требовалось доказать
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
$S_{3}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}=\frac{b}{a}\cdot S_{2}=S_{4},$
т.е. когда $AB\parallel CD$ (см. задачу 7357)
