В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: $1, 2, 4,\cdots, 21998$. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Подробнее
Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ «да» надо заплатить 2 рубля, за ответ «нет» -1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?
Подробнее
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (т. е. сколько карт между семерками червей, между дамами пик, и т. д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Подробнее
Имеется таблица $n \times n$, в $n - 1$ клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках - нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
Подробнее
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и умноженная на 5 прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число $7^1998$. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число $1998^7$?
Подробнее
В последовательности натуральных чисел $\{ a_n \}, n = 1,2,\cdots$, каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных $n$ и $m$ выполнено неравенство
$ \frac {1}{1998}< \frac {a_n-a_m}{n-m} < 1998$.
Докажите, что тогда $|a_n - n| < 2000000$ для всех натуральных $n$.
Подробнее
Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живет в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром - 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идет по дороге со скоростью 5 км/ч. Докажите, что все трое могут добраться до бабушки за 3 часа.
Подробнее
К натуральному числу $A$ приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до $A$. Найдите $A$.
Подробнее
По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа $1, \cdots N$, $N \geq 2$. При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Подробнее
Произведение положительных чисел $x, y$ и $z$ равно 1. Докажите, что если $ \frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{ z } \geq x+y+ z $ то для любого натурального $к$ выполнено неравенство $\frac{1} {x^k}+ \frac {1}{y^k}+ \frac {1}{ z^k} \geq x^k+y^k+ z^k$.
Подробнее
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Подробнее
Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них - точные квадраты?
Подробнее
Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии $n$ кандидатов. На избирательном участке находится $n + 1$ урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе $(n + 1)$-го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.
Подробнее
Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число. Докажите, что найдется пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.
Подробнее
Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т. д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.
Подробнее
