Первые 1511 натуральных чисел расставлены по порядку вдоль окружности. Затем, последовательно вычеркивается каждое второе число (2; 4; $\cdots$; 1510; $\cdots$). Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется только одно число. Какое это число?
Подробнее
Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших пятидесяти, можно выбрать так, чтобы любые два из них были взаимно простыми?
Подробнее
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более, чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.
Подробнее
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Подробнее
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок — одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Подробнее
Найдите все простые $p$ такие, что число $p^{2}+11$ имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).
Подробнее
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (рис.). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Подробнее
Можно ли в таблице 11 × 11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Подробнее
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что НОК $\left ( m, n \right )$ + НОД $\left ( m, n \right )$ равно $m+n$. Докажите, что одно из чисел $m$ или $n$ делится на другое.
Подробнее
На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.
Подробнее
В одном из узлов шестиугольника со стороной $n$, разбитого на правильные треугольники (рис.), стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
Имеется 8 монет, 7 из которых - настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
Подробнее
Существует ли бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв $а$ и $b$, такая, что при одновременной замене всех букв $а$ на $aba$ и букв $b$ на $bba$ она переходит в себя (возможно, со сдвигом)? (Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное $n$, что для всякого $i = 1, 2,\cdots$ $i$-й член этой последовательности равен $(i + n)$-му).
Подробнее
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Подробнее
На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчиненных равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издает приказ и выдает копию этого приказа каждому своему непосредственному подчиненному (если такие есть). Далее, каждый день работник берет все полученные им в предыдущие день приказы и либо раздает их копии всем своим непосредственным подчиненным, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.
Подробнее
