В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причем для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (т. е. 1, 2, 4, 8,\cdots). Для каждого города $A$ статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих $A$ с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.
Подробнее
В таблице $99 \times 101$ расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рис. Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.
Подробнее
Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые массой 10г, а остальные - дюралевые массой 9,9г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них - одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?
Подробнее
Рассматриваются 2000 чисел: $11, 101, 1001,\cdots$ Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Подробнее
Даны числа $1,2, \cdots,N$, каждое из которых окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких $N$ всегда можно сделать все числа белыми?
Подробнее
Можно ли числа $1, 2,\cdots, 10$ расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?
Подробнее
$N$ цифр - единицы и двойки - расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении $N$ все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?
Подробнее
Натуральное число $n$ назовем хорошим, если каждое из чисел $n, n +1, n + 2$ и $n + 3$ делится на сумму своих цифр. (Например, $n = 60398$ - хорошее). Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?
Подробнее
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Подробнее
Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
Подробнее
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа $а, b$ и $с$ (не обязательно различные) удовлетворяют условию $2000(а + b) = с$, то они либо все одного цвета, либо трех разных цветов.
Подробнее
Найдите все простые числа $p$ и $q$ такие, что $p + q = (p - q)^3$.
Подробнее
Можно ли все клетки таблицы $9 \times 2002$ заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?
Подробнее
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Подробнее
