Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1562
2019-01-19 
Произведение положительных чисел $x, y$ и $z$ равно 1. Докажите, что если $ \frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{ z } \geq x+y+ z $ то для любого натурального $к$ выполнено неравенство $\frac{1} {x^k}+ \frac {1}{y^k}+ \frac {1}{ z^k} \geq x^k+y^k+ z^k$.
Решение:
Так как $xyz = 1$, то неравенства $ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \geq x + y + z$ и $(x-l)(y-l)(z-1) \leq 0$ равносильны. Действительно, из того, что $ \frac {1}{x} = yz, \frac{1}{y} = xz, \frac{1}{z} = ху$ и $xyz - 1 = 0$ следует, что они оба равносильны неравенству $yz + xz + xy \geq x + у + z$.
Кроме того, числа $t - 1$ и $t^k - 1$ имеют при $k > 0$ одинаковый знак. Поэтому $ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \geq x + y + z \Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1) \leq 0 \Leftrightarrow (x^k-1)(y^k-1_(z^k-1) \leq 0 \Leftrightarrow \frac {1}{x^k} + \frac {1}{y^k} + \frac {1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k$.
Произведение положительных чисел $x, y$ и $z$ равно 1. Докажите, что если $ \frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{ z } \geq x+y+ z $ то для любого натурального $к$ выполнено неравенство $\frac{1} {x^k}+ \frac {1}{y^k}+ \frac {1}{ z^k} \geq x^k+y^k+ z^k$.
Решение:
Так как $xyz = 1$, то неравенства $ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \geq x + y + z$ и $(x-l)(y-l)(z-1) \leq 0$ равносильны. Действительно, из того, что $ \frac {1}{x} = yz, \frac{1}{y} = xz, \frac{1}{z} = ху$ и $xyz - 1 = 0$ следует, что они оба равносильны неравенству $yz + xz + xy \geq x + у + z$.
Кроме того, числа $t - 1$ и $t^k - 1$ имеют при $k > 0$ одинаковый знак. Поэтому $ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \geq x + y + z \Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1) \leq 0 \Leftrightarrow (x^k-1)(y^k-1_(z^k-1) \leq 0 \Leftrightarrow \frac {1}{x^k} + \frac {1}{y^k} + \frac {1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k$.
