Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные - по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.
Подробнее
Можно ли расставить по кругу числа $1,2, \cdots, 60$ в таком порядке, чтобы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, \cdots, сумма любых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
Подробнее
На отрезке $[0, 2002]$ отмечены его концы и точка с координатой $d$, где $d$ - взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если ее координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Подробнее
Действительные числа $x$ и $у$ таковы, что для любых различных простых нечетных $p$ и $q$ число $xp + yq$ рационально. Докажите, что $x$ и $у$ - рациональные числа.
Подробнее
Набор чисел $а_0,а_1,.. .,а_n$ удовлетворяет условиям: $а_0 = 0, а_{к+1} \geq а_{к+1} + 1$ при $k = 0,1,\cdots,n - 1$. Докажите неравенство $\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{3} \geq (\sum_{k=1}^{n}a_k)^2$.
Подробнее
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Подробнее
Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до 1000. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число $2а$, либо число $а+1$, если на доске уже написано число $а$. При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
Для некоторых натуральных чисел $а, b, с$ и $d$ выполняются равенства $ \frac {a}{c}= \frac {b}{d}= \frac {ab+1}{cd+1}$. Докажите, что $а = с$ и $b = d$.
Подробнее
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел $a$ и $b (a > b)$ хотя бы одно из чисел $a + b$ или $a - b$ тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Подробнее
Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, делящееся на 11. Кто из игроков победит при правильной игре?
Подробнее
На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно $2, 3, 4, \cdots, 99$ знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?
Подробнее
Докажите, что из любых шести четырехзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Подробнее
На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече?
Подробнее
Докажите, что из произвольного множества трехзначных чисел, включающего не менее четырех чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
Подробнее
Найдите все простые $p$, для каждого из которых существуют такие натуральные $x$ и $y$, что $p^x = y^3 + 1$.
Подробнее
