Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1542
2019-01-19 
В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: $1, 2, 4,\cdots, 21998$. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Решение:
Первым ходом начинающий уменьшает на единицу числа в первой и четырех последних ячейках. В дальнейшем на каждый ход второго он уменьшает на единицу числа в тех же ячейках, что и второй. Все числа в ячейках с первой по 1995-ю четные после ответных ходов первого, и поэтому ни одно из них первый не может сделать отрицательным.
Первый программист может сломать компьютер лишь в том случае, если он сделает отрицательным одно из чисел в четырех последних ячейках. Для этого должно быть сделано более $2^{1995}$ ходов, не ломающих компьютер. С другой стороны, на каждом ходу уменьшается пять чисел, т. е. хотя бы одно из чисел в ячейках с 1 по 1995. Первоначальная сумма чисел в этих ячейках $1 + 2 + \cdots + 2^{1994} = 2^{1995} - 1$. Поэтому могло быть сделано не более $2^{1995} - 1$ ходов, не ломающих компьютер.
Значит, компьютер испортит второй программист.
Ответ. Начинающий.
В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: $1, 2, 4,\cdots, 21998$. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Решение:
Первым ходом начинающий уменьшает на единицу числа в первой и четырех последних ячейках. В дальнейшем на каждый ход второго он уменьшает на единицу числа в тех же ячейках, что и второй. Все числа в ячейках с первой по 1995-ю четные после ответных ходов первого, и поэтому ни одно из них первый не может сделать отрицательным.
Первый программист может сломать компьютер лишь в том случае, если он сделает отрицательным одно из чисел в четырех последних ячейках. Для этого должно быть сделано более $2^{1995}$ ходов, не ломающих компьютер. С другой стороны, на каждом ходу уменьшается пять чисел, т. е. хотя бы одно из чисел в ячейках с 1 по 1995. Первоначальная сумма чисел в этих ячейках $1 + 2 + \cdots + 2^{1994} = 2^{1995} - 1$. Поэтому могло быть сделано не более $2^{1995} - 1$ ходов, не ломающих компьютер.
Значит, компьютер испортит второй программист.
Ответ. Начинающий.
