Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1572
2019-01-19 
Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число. Докажите, что найдется пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.
Решение:
Рассмотрим отрезки натурального ряда длины 1999. Все они отличаются сдвигом. Назовем точки, или позиции, на двух таких отрезках соответствующими, если они совмещаются при сдвиге одного отрезка на другой.
Предположим, что условие задачи не выполняется, т. е. ни одно из отмеченных чисел не делится на другое. Рассмотрим отрезок $[1,1999]$. По условию задачи, в нем есть отмеченное число, скажем $x_1$.
Теперь сдвигаем отрезок на $x_1$. На позиции, соответствующей числу $x_1$, не может стоять отмеченное число (так как оно делится на $x_1$), а вместе с тем в этом отрезке есть какое-то другое отмеченное число $x_2$. Теперь сдвинем новый отрезок на $x_1x_2$. Тогда на позициях, соответствующих отмеченным числам $x_1$ и $x_2$ не могут стоять отмеченные числа (так как эти числа делятся на $x_1$ и $x_2$ соответственно), а вместе с тем на этом отрезке есть некоторое отмеченное число $x_3$.
Теперь будем сдвигать новый отрезок на $x_1x_2x_3$ и найдем новое число $x_4$. На шаге с номером $t$ мы осуществляем сдвиг на $x_1 \cdots x_t$ и получаем отрезок с $t$ запретами.
На шаге с номером 1999 мы получим, что все позиции запрещены, что противоречит условию.
Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число. Докажите, что найдется пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.
Решение:
Рассмотрим отрезки натурального ряда длины 1999. Все они отличаются сдвигом. Назовем точки, или позиции, на двух таких отрезках соответствующими, если они совмещаются при сдвиге одного отрезка на другой.
Предположим, что условие задачи не выполняется, т. е. ни одно из отмеченных чисел не делится на другое. Рассмотрим отрезок $[1,1999]$. По условию задачи, в нем есть отмеченное число, скажем $x_1$.
Теперь сдвигаем отрезок на $x_1$. На позиции, соответствующей числу $x_1$, не может стоять отмеченное число (так как оно делится на $x_1$), а вместе с тем в этом отрезке есть какое-то другое отмеченное число $x_2$. Теперь сдвинем новый отрезок на $x_1x_2$. Тогда на позициях, соответствующих отмеченным числам $x_1$ и $x_2$ не могут стоять отмеченные числа (так как эти числа делятся на $x_1$ и $x_2$ соответственно), а вместе с тем на этом отрезке есть некоторое отмеченное число $x_3$.
Теперь будем сдвигать новый отрезок на $x_1x_2x_3$ и найдем новое число $x_4$. На шаге с номером $t$ мы осуществляем сдвиг на $x_1 \cdots x_t$ и получаем отрезок с $t$ запретами.
На шаге с номером 1999 мы получим, что все позиции запрещены, что противоречит условию.
