Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1569
2019-01-19 
Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них - точные квадраты?
Решение:
Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через $x_1, \cdots, x_{10}$ и $S$. Тогда
$S - x_1 = n_{1}^{2}$,
$S - x_2 = n_{2}^{2}$,
$\cdots$
$S - x_{10} = n_{10}^{2}$, где $n_i \in \mathbb{N}$.
Следовательно, $S= \frac {n_{1}^{2}+\cdots+ n_{10}^{2}}{9}$. Пусть $n_k = 3k$($k = 1, \cdots, 10$). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа $x_i = S - n_{i}^{2}$ удовлетворяют требованиям задачи.
Ответ. Да.
Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них - точные квадраты?
Решение:
Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через $x_1, \cdots, x_{10}$ и $S$. Тогда
$S - x_1 = n_{1}^{2}$,
$S - x_2 = n_{2}^{2}$,
$\cdots$
$S - x_{10} = n_{10}^{2}$, где $n_i \in \mathbb{N}$.
Следовательно, $S= \frac {n_{1}^{2}+\cdots+ n_{10}^{2}}{9}$. Пусть $n_k = 3k$($k = 1, \cdots, 10$). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа $x_i = S - n_{i}^{2}$ удовлетворяют требованиям задачи.
Ответ. Да.
