Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1552
2019-01-19 
В последовательности натуральных чисел $\{ a_n \}, n = 1,2,\cdots$, каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных $n$ и $m$ выполнено неравенство
$ \frac {1}{1998}< \frac {a_n-a_m}{n-m} < 1998$.
Докажите, что тогда $|a_n - n| < 2000000$ для всех натуральных $n$.
Решение:
Из неравенства $ \frac { \left | a_n - a_m \right | }{n-m} > \frac {1}{1998}$ следует, что все члены последовательности попарно различны.
Лемма. Если $i > n$ и $a_i < a_n$, то $i - n < 2000000$.
Доказательство. Пусть $i > n$ и $a_1 < a_n$. Интервал $[1,a_n]$ содержит лишь конечное число членов последовательности, значит все $а_к$ с достаточно большими $к$ будут больше $a_n$. При возрастании индекса от $i$ до бесконечности найдется такое $j$, что $a_j < a_n < a_{j+1}$. Расстояние между $a_j$ и $a_{j+1}$, ввиду неравенства $ \frac {\left | a_n - a_m \right |}{n-m} < 1998$, меньше 1998, поэтому либо $a_n - a_j < 999$, либо $a_{j+1} - a_n < 999$. В первом из этих случаев, по условию
$ \frac {j-n}{1998} < a_n - a_j < 999$,
значит $i \leq j < n + 1998 \cdot 999 < n + 2 \cdot 10^6$, во втором, аналогично, $i \leq j < n - 1 + 1998 \cdot 999 < n + 2 \cdot 10^6$. Лемма доказана.
По условию в последовательности встречаются все натуральные числа, значит, $а_n$ равно числу членов последовательности, лежащих в интервале $[1, a_n]$. Член последовательности, лежащий в $[1, a_n]$, имеет индекс не больше $n$ или больше $n$, количество первых не более $n$, количество вторых, по доказанному, меньше $2 \cdot 10^6$. Тогда $a_n < n +2 \cdot 10^6$. С другой стороны, также по доказанному, если $i < n - 2 \cdot 10^6$, то $a_i < a_n$, значит в $[1, а_n]$ содержится больше $n - 2 \cdot 10^6$ членов последовательности. Таким образом, $n - 2 \cdot 10^6 < a_n < n +2 \cdot 10^6$, откуда $|a_n - n| < 2 \cdot 10^6$, что и требовалось доказать.
В последовательности натуральных чисел $\{ a_n \}, n = 1,2,\cdots$, каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных $n$ и $m$ выполнено неравенство
$ \frac {1}{1998}< \frac {a_n-a_m}{n-m} < 1998$.
Докажите, что тогда $|a_n - n| < 2000000$ для всех натуральных $n$.
Решение:
Из неравенства $ \frac { \left | a_n - a_m \right | }{n-m} > \frac {1}{1998}$ следует, что все члены последовательности попарно различны.
Лемма. Если $i > n$ и $a_i < a_n$, то $i - n < 2000000$.
Доказательство. Пусть $i > n$ и $a_1 < a_n$. Интервал $[1,a_n]$ содержит лишь конечное число членов последовательности, значит все $а_к$ с достаточно большими $к$ будут больше $a_n$. При возрастании индекса от $i$ до бесконечности найдется такое $j$, что $a_j < a_n < a_{j+1}$. Расстояние между $a_j$ и $a_{j+1}$, ввиду неравенства $ \frac {\left | a_n - a_m \right |}{n-m} < 1998$, меньше 1998, поэтому либо $a_n - a_j < 999$, либо $a_{j+1} - a_n < 999$. В первом из этих случаев, по условию
$ \frac {j-n}{1998} < a_n - a_j < 999$,
значит $i \leq j < n + 1998 \cdot 999 < n + 2 \cdot 10^6$, во втором, аналогично, $i \leq j < n - 1 + 1998 \cdot 999 < n + 2 \cdot 10^6$. Лемма доказана.
По условию в последовательности встречаются все натуральные числа, значит, $а_n$ равно числу членов последовательности, лежащих в интервале $[1, a_n]$. Член последовательности, лежащий в $[1, a_n]$, имеет индекс не больше $n$ или больше $n$, количество первых не более $n$, количество вторых, по доказанному, меньше $2 \cdot 10^6$. Тогда $a_n < n +2 \cdot 10^6$. С другой стороны, также по доказанному, если $i < n - 2 \cdot 10^6$, то $a_i < a_n$, значит в $[1, а_n]$ содержится больше $n - 2 \cdot 10^6$ членов последовательности. Таким образом, $n - 2 \cdot 10^6 < a_n < n +2 \cdot 10^6$, откуда $|a_n - n| < 2 \cdot 10^6$, что и требовалось доказать.
