Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1565
2019-01-19 
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Решение:
Если данное число $n$ четно, т. е. $n = 2m$, то искомыми числами будут $k = 4m\:и l = 2m$.
Пусть $n$ нечетно, $p_1,\cdots, p_s$ - его простые делители и $p$ - наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество $\{ p_1,\cdots ,p_s \}$. Тогда искомыми будут числа $k = pn$ и $l = (p - 1)n$, так как, в силу выбора $p$, число $p - 1$ имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел $p_1,\cdots , p_s$.
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Решение:
Если данное число $n$ четно, т. е. $n = 2m$, то искомыми числами будут $k = 4m\:и l = 2m$.
Пусть $n$ нечетно, $p_1,\cdots, p_s$ - его простые делители и $p$ - наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество $\{ p_1,\cdots ,p_s \}$. Тогда искомыми будут числа $k = pn$ и $l = (p - 1)n$, так как, в силу выбора $p$, число $p - 1$ имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел $p_1,\cdots , p_s$.
