Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1581
2019-01-19 
Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т. д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.
Решение:
Рассмотрим первый случай, пусть второй пират на каждом шагу берет столько же монет, что и первый, но из другого мешка. Нетрудно убедиться, что в этом случае второй всегда может сделать ответный ход. Каждый раз после хода второго пирата разность числа монет в мешках будет той же, что в начале, значит, после некоторого его хода в одном мешке монет вообще не будет, а в другом будет не более одного, значит, первый пират не сможет сделать ход и проиграет.
Во втором случае, если разность больше 1, то первый пират своим ходом забирает из большего мешка $m$ монет, если разность имеет вид $3m$ или $3m \pm 1$, чем приводит количество монет в мешках к первому случаю и дальше использует описанную выше стратегию.
Ответ. Если количество монет в мешках различается не более, чем на 1, то алмаз достанется второму пирату, в противном случае - первому.
Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т. д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.
Решение:
Рассмотрим первый случай, пусть второй пират на каждом шагу берет столько же монет, что и первый, но из другого мешка. Нетрудно убедиться, что в этом случае второй всегда может сделать ответный ход. Каждый раз после хода второго пирата разность числа монет в мешках будет той же, что в начале, значит, после некоторого его хода в одном мешке монет вообще не будет, а в другом будет не более одного, значит, первый пират не сможет сделать ход и проиграет.
Во втором случае, если разность больше 1, то первый пират своим ходом забирает из большего мешка $m$ монет, если разность имеет вид $3m$ или $3m \pm 1$, чем приводит количество монет в мешках к первому случаю и дальше использует описанную выше стратегию.
Ответ. Если количество монет в мешках различается не более, чем на 1, то алмаз достанется второму пирату, в противном случае - первому.
