Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1549
2019-01-19 
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и умноженная на 5 прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число $7^1998$. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число $1998^7$?
Решение:
Посмотрим, как изменяется при этой операции остаток от деления числа на 7. Пусть $b$ - последняя цифра числа. Тогда оно имеет вид $10a + b$, а в результате применения операции получается $a + 5b$. Поскольку $5(10a + b) - (a + 5b) = 49a$ делится на 7, то остаток умножается на 5, т. е. если исходное число делилось на 7, то все числа, появляющиеся на доске, тоже будут делиться на 7. Следовательно, $1998^7$ никогда не будет получено.
Ответ. Нет.
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и умноженная на 5 прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число $7^1998$. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число $1998^7$?
Решение:
Посмотрим, как изменяется при этой операции остаток от деления числа на 7. Пусть $b$ - последняя цифра числа. Тогда оно имеет вид $10a + b$, а в результате применения операции получается $a + 5b$. Поскольку $5(10a + b) - (a + 5b) = 49a$ делится на 7, то остаток умножается на 5, т. е. если исходное число делилось на 7, то все числа, появляющиеся на доске, тоже будут делиться на 7. Следовательно, $1998^7$ никогда не будет получено.
Ответ. Нет.
