Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: пятая степень суммы цифр десятичной записи числа $n$ равна $n^{2}$.
Подробнее
Доказать, что если знаменатель правильной дроби не превосходит 100, то в десятичной записи этой дроби не могут встретиться три цифры 1, 6, 7, идущие подряд в указанном порядке.
Подробнее
Доказать, что любое простое число вида
$2^{2^{n}} + (n \in \mathbf{N})$
не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
Подробнее
Существует ли значение $n \in \mathbf{N}$, при котором числа
$2^{n+1}-1$ и $2^{n-1}(2^{n}-1)$
одновременно являются кубами целых чисел?
Подробнее
Доказать, что если числа $m,n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют неравенству $\sqrt{7} - m/n > 0$, то $\sqrt{7} - m/n > 1/mn$.
Подробнее
Определить, какие цифры в разрядах единиц и десятых стоят в десятичной записи числа
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1980}$.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ существует число $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее равенству
$(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
в десятичной записи каждого из которых можно выделить не менее 1976 цифр 0, идущих подряд.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $m \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
у которых каждая из $m$ последних цифр десятичной записи имеет четность, отличную от четности соседних с ней цифр.
Подробнее
Доказать, что если длины сторон прямоугольника - нечетные числа, то внутри этого прямоугольника нет точки, расстояние от которой до любой из четырех его вершин является целым числом.
Подробнее
Доказать, что не существует правильной четырехугольной пирамиды, у которой длины всех ребер, полная поверхность и объем являются целыми числами.
Подробнее
Решить уравнение $8^{x}(3x + 1)=4$.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a, b, c \in \mathbf{R}$ уравнение
$(x-a) (x-b) + (x-b) (x-c) + (x-c) (x-a)=0$
имеет хотя бы одно решение.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x -16 = 0$
имеет ровно два решения.
Подробнее
Найти все пары чисел $a >1, b > 0$, для которых уравнение $a^{x} = x^{b}$ имеет ровно одно положительное решение. Указать это решение для каждой пары найденных значений $a, b$.
Подробнее
