Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 115
2014-06-07 
Доказать, что любое простое число вида
$2^{2^{n}} + (n \in \mathbf{N})$
не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, существуют числа $n, m, k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющие равенству
$2^{2^{n}} + 1 = m^{5} – k^{5}$,
причем число
$m^{5} – k^{5} = (m - k) (m^{4} + m^{3}k + m^{2}k^{2} + mk^{3} + k^{4})$
является простим. Тогда $m – k =1$ и
$2^{2^{n}} + 1 = (k+1)^{5} – k^{5} = 5 k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k +1$,
поэтому число
$2^{2^{n}}=5 (k^{4} + 2 k^{3} + 2k^{2} + k)$
делится на 5. Полученное противоречие доказывает справедливость требуемого утверждения.
Доказать, что любое простое число вида
$2^{2^{n}} + (n \in \mathbf{N})$
не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, существуют числа $n, m, k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющие равенству
$2^{2^{n}} + 1 = m^{5} – k^{5}$,
причем число
$m^{5} – k^{5} = (m - k) (m^{4} + m^{3}k + m^{2}k^{2} + mk^{3} + k^{4})$
является простим. Тогда $m – k =1$ и
$2^{2^{n}} + 1 = (k+1)^{5} – k^{5} = 5 k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k +1$,
поэтому число
$2^{2^{n}}=5 (k^{4} + 2 k^{3} + 2k^{2} + k)$
делится на 5. Полученное противоречие доказывает справедливость требуемого утверждения.
