ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что если числа $m,n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют неравенству $\sqrt{7} - m/n > 0$, то $\sqrt{7} - m/n > 1/mn$.


Решение:


Требуется доказать, что из неравенства $n \sqrt{7} - m > 0$, где $n, m \in \mathbf{N}$, вытекает неравенство $ n \sqrt{7} - m > l/m$. Если $ n \sqrt{7} - m >1$, то тем более $ n \sqrt{7} - m > l/m$. Рассмотрим случай $0 < n \sqrt{7} - m < 1$ (равенство $ n \sqrt{7} - m = 1$ невозможно, так как иначе число $\sqrt{7} = (1 + m)/n$ было бы рациональным). Заметим, что натуральное число
$7n^{2} – m^{2} = (n \sqrt{7} - m)(n \sqrt{7} + m)$
не может быть равно 1 или 2, так как число $m^{2}$ не может давать при делении на 7 остаток 9 или 5 (действительно,
$(7k)^{2} \equiv 0 (mod 7), (7k \pm 1)^{2} \equiv \pm 1 (mod 7)$,
$(7k \pm 2)^{2} \equiv 4 (mod 7), (7k \pm 3)^{2} \equiv \mp 2 (mod 7))$.
Поэтому $7n^{2} – m^{2} \geq 3$ и, следовательно,
$n \sqrt{7} – m \geq 3/( n \sqrt{7} + m) > 1/m$,
поскольку
$3m \geq 2m + 1 > 2m + (n \sqrt{7} - m) = n \sqrt{7} + m $,
Утверждение доказано.