Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 129
2014-06-07 
Найти все пары чисел $a >1, b > 0$, для которых уравнение $a^{x} = x^{b}$ имеет ровно одно положительное решение. Указать это решение для каждой пары найденных значений $a, b$.
Решение:
Уравнение $a^{x} = x^{b}$ равносильно уравнению $c^{x} = x$, где $c = a^{1/b} > 1$. Так как производная функции $f(x) = c^{x} – x$, равная $f^{\prime}(x) = c^{x}\ln c – 1$, положительна при $c^{x} > log_{c}e$ и отрицательна при $c^{x} < log_{c}e$, то функция $f(x)$ имеет минимум в точке $x_{0} > 0$, удовлетворяющей равенству $c^{x_{0}} = log_{c}e$. Если $f(x_{0}) > 0$, то исходное уравнение не имеет решений; если $f(x_{0}) = 0$, то уравнение имеет единственное положительное решение $x = x_{0}$; если же $f(x_{0}) < 0$, то уравнение имеет два положительных решения (по одному решению на интервалах $(0; x_{0})$ и $(x_{0}; \infty)$ соответственно, поскольку $f(0) > 0$ и $lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = \infty$). Итак, исходное уравнение удовлетворяет требованиям задачи тогда и только тогда, когда $x_{0} = c^{x_{0}} = log_{c}e$, т. е. $x_{0} = c^{log_{c}e} = e$ и $c = e^{1/e}$. Таким образом, искомые значения $a, b$ (и только они) удовлетворяют равенству $a^{e} = e^{b}$, где $b > 0$, т.е. $a = t, b= e \ln t$ где $t \in (1; \infty)$ при этом единственное положительное решение уравнения есть $x = e$.
Найти все пары чисел $a >1, b > 0$, для которых уравнение $a^{x} = x^{b}$ имеет ровно одно положительное решение. Указать это решение для каждой пары найденных значений $a, b$.
Решение:
Уравнение $a^{x} = x^{b}$ равносильно уравнению $c^{x} = x$, где $c = a^{1/b} > 1$. Так как производная функции $f(x) = c^{x} – x$, равная $f^{\prime}(x) = c^{x}\ln c – 1$, положительна при $c^{x} > log_{c}e$ и отрицательна при $c^{x} < log_{c}e$, то функция $f(x)$ имеет минимум в точке $x_{0} > 0$, удовлетворяющей равенству $c^{x_{0}} = log_{c}e$. Если $f(x_{0}) > 0$, то исходное уравнение не имеет решений; если $f(x_{0}) = 0$, то уравнение имеет единственное положительное решение $x = x_{0}$; если же $f(x_{0}) < 0$, то уравнение имеет два положительных решения (по одному решению на интервалах $(0; x_{0})$ и $(x_{0}; \infty)$ соответственно, поскольку $f(0) > 0$ и $lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = \infty$). Итак, исходное уравнение удовлетворяет требованиям задачи тогда и только тогда, когда $x_{0} = c^{x_{0}} = log_{c}e$, т. е. $x_{0} = c^{log_{c}e} = e$ и $c = e^{1/e}$. Таким образом, искомые значения $a, b$ (и только они) удовлетворяют равенству $a^{e} = e^{b}$, где $b > 0$, т.е. $a = t, b= e \ln t$ где $t \in (1; \infty)$ при этом единственное положительное решение уравнения есть $x = e$.
