Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 123
2014-06-07 
Доказать, что если длины сторон прямоугольника - нечетные числа, то внутри этого прямоугольника нет точки, расстояние от которой до любой из четырех его вершин является целым числом.
Решение:
Обозначим через $x_{1}$ и $x_{2}$ расстояния от некоторой точки внутри прямоугольника до двух его противоположных сторон, а через $y_{1}$ и $y_{2}$ - расстояния до двух других его сторон. Тогда по условию стороны прямоугольника
$A=x_{1} + x_{2}$ и $B = y_{1} + y_{2}$
являются нечетными числами. Предположим, что найдутся числа
$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbf{Z}$,
удовлетворяющие условиям
$x^{2}_{i}+y^{2}_{j}=a_{ij}^{2}$
(здесь и ниже $i, j = 1, 2$). Обозначим
$u_{i} = x_{i} AB, v_{j}=y_{j}AB$.
Тогда имеем
$u_{1}-u_{2}=(x_{1}-x_{2})AB=(x^{2}_{1}-x_{2}^{2})B =((x^{2}_{1}+y^{2}_{1}) - (x^{2}_{2}+y^{2}_{1})) B=$
$= (a^{2}_{11}-a^{2}_{21})B=C$,
$u_{1}+u_{2} = (x_{1}+x_{2})AB=A^{2}B=D$.
Аналогично получаем
$v_{1} – v_{2} = ( a^{2}_{11} – a^{2}_{12} ) A = E, v_{1}+ v_{2} = AB^{2} = F$,
Наконец, имеем
$u^{2}_{i}+v^{2}_{j}=(x^{2}_{i}+y^{2}_{j})A^{2}B^{2}=a^{2}_{ij}A^{2}B^{2}=b^{2}_{ij}$.
При этом числа $C, E$ и $b_{ij}$ целые, а $D$ и $F$ нечетные. Предположим, что все числа $u_{i}, v_{j}$ целые. Тогда одно из чисел $u_{1},u_{2}$ является нечетным (ибо их сумма нечетна) и одно из чисел $v_{1}, v_{2}$ также нечетно. Обозначая эти два числа через $u$ и $v$, а сумму их квадратов через $b^{2}$, имеем:
$u^{2} \equiv 1 (mod 4), v^{2} \equiv 1 (mod 4)$,
и равенство
$u^{2} +v^{2} = b^{2}$
невозможно, так как
$b^{2} \neq 2 (mod 4)$.
Полученное противоречие доказывает, что не все числа $u_{i}, v_{j}$ являются целыми. Поэтому хотя бы одно из целых чисел
$U_{i}=2u_{i}, V_{j} = 2v_{j} (2u_{i} = D \pm C, 2v_{j} = F \pm E)$
является нечетным. Пусть нечетным оказалось, например, число $U_{1}$ (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда из равенства
$u^{2}_{1}+v^{2}_{1}=b^{2}_{11}$
получаем равенство
$U^{2}_{1}+V^{2}_{1}=4b^{2}_{11}$,
которое невозможно, так как
$U_{1}^{2} \equiv 1 (mod 4), 4 b^{2}_{11} = 0(mod 4)$, но $V^{2}_{1} \neq (mod 4)$.
Доказательство закончено.
Доказать, что если длины сторон прямоугольника - нечетные числа, то внутри этого прямоугольника нет точки, расстояние от которой до любой из четырех его вершин является целым числом.
Решение:
Обозначим через $x_{1}$ и $x_{2}$ расстояния от некоторой точки внутри прямоугольника до двух его противоположных сторон, а через $y_{1}$ и $y_{2}$ - расстояния до двух других его сторон. Тогда по условию стороны прямоугольника
$A=x_{1} + x_{2}$ и $B = y_{1} + y_{2}$
являются нечетными числами. Предположим, что найдутся числа
$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbf{Z}$,
удовлетворяющие условиям
$x^{2}_{i}+y^{2}_{j}=a_{ij}^{2}$
(здесь и ниже $i, j = 1, 2$). Обозначим
$u_{i} = x_{i} AB, v_{j}=y_{j}AB$.
Тогда имеем
$u_{1}-u_{2}=(x_{1}-x_{2})AB=(x^{2}_{1}-x_{2}^{2})B =((x^{2}_{1}+y^{2}_{1}) - (x^{2}_{2}+y^{2}_{1})) B=$
$= (a^{2}_{11}-a^{2}_{21})B=C$,
$u_{1}+u_{2} = (x_{1}+x_{2})AB=A^{2}B=D$.
Аналогично получаем
$v_{1} – v_{2} = ( a^{2}_{11} – a^{2}_{12} ) A = E, v_{1}+ v_{2} = AB^{2} = F$,
Наконец, имеем
$u^{2}_{i}+v^{2}_{j}=(x^{2}_{i}+y^{2}_{j})A^{2}B^{2}=a^{2}_{ij}A^{2}B^{2}=b^{2}_{ij}$.
При этом числа $C, E$ и $b_{ij}$ целые, а $D$ и $F$ нечетные. Предположим, что все числа $u_{i}, v_{j}$ целые. Тогда одно из чисел $u_{1},u_{2}$ является нечетным (ибо их сумма нечетна) и одно из чисел $v_{1}, v_{2}$ также нечетно. Обозначая эти два числа через $u$ и $v$, а сумму их квадратов через $b^{2}$, имеем:
$u^{2} \equiv 1 (mod 4), v^{2} \equiv 1 (mod 4)$,
и равенство
$u^{2} +v^{2} = b^{2}$
невозможно, так как
$b^{2} \neq 2 (mod 4)$.
Полученное противоречие доказывает, что не все числа $u_{i}, v_{j}$ являются целыми. Поэтому хотя бы одно из целых чисел
$U_{i}=2u_{i}, V_{j} = 2v_{j} (2u_{i} = D \pm C, 2v_{j} = F \pm E)$
является нечетным. Пусть нечетным оказалось, например, число $U_{1}$ (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда из равенства
$u^{2}_{1}+v^{2}_{1}=b^{2}_{11}$
получаем равенство
$U^{2}_{1}+V^{2}_{1}=4b^{2}_{11}$,
которое невозможно, так как
$U_{1}^{2} \equiv 1 (mod 4), 4 b^{2}_{11} = 0(mod 4)$, но $V^{2}_{1} \neq (mod 4)$.
Доказательство закончено.
