Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 127
2014-06-07 
Доказать, что для любых значений $a, b, c \in \mathbf{R}$ уравнение
$(x-a) (x-b) + (x-b) (x-c) + (x-c) (x-a)=0$
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Обозначим
$f(x) = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)$.
Без ограничения общности можно считать, что $a \leq b \leq c$. Если $a = b$ или $b = c$, то $f(b) = (b-a)(b - c) =0$. Если же $a < b < c$, то $f(b) < 0$ и $f(a) = (a - b) (a - c) > 0$. Так как функция $f (x)$ непрерывна, то существует такое число $x_{0} \in (a; b)$, что $f(x_{0}) = 0$.
Доказать, что для любых значений $a, b, c \in \mathbf{R}$ уравнение
$(x-a) (x-b) + (x-b) (x-c) + (x-c) (x-a)=0$
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Обозначим
$f(x) = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)$.
Без ограничения общности можно считать, что $a \leq b \leq c$. Если $a = b$ или $b = c$, то $f(b) = (b-a)(b - c) =0$. Если же $a < b < c$, то $f(b) < 0$ и $f(a) = (a - b) (a - c) > 0$. Так как функция $f (x)$ непрерывна, то существует такое число $x_{0} \in (a; b)$, что $f(x_{0}) = 0$.
