Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 113
2014-06-07 
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: пятая степень суммы цифр десятичной записи числа $n$ равна $n^{2}$.
Решение:
Пусть $n$ - искомое число, $s$ - сумма цифр его десятичной записи, a $k$ - количество этих цифр. Тогда имеют место соотношения
$s^{5}=n^{2}, s \leq 9k, n \geq 10^{2k-2}$,
из которых получаем, что
$9^{5}k^{5} \geq s^{5}=n^{2} \geq 10^{2k-2}$.
Обозначим
$a_{k} = 9^{5}k^{5}/10^{2k-2}$,
тогда из соотношений
$\frac{9^{5}(k+1)^{5}}{9^{5}k^{5}} = \frac{(k+1)^{5}}{k^{5}} \leq 2^{5} < 10^{2} = \frac{10^{2(k+1)-2}}{10^{2k-2}}$,
выполненных при каждом значении $k \in \mathbf{N}$, получаем оценку $a_{k+1} < a_{k}$, т. е. последовательность чисел $a_{k}$ убывает. Поскольку $a_{6} < 1$, то при всех $k \geq 6$ имеем неравенства
$9^{5}k^{5} < 10^{2k - 2}$,
а значит, число $k$ не может принимать значений, больших 5. Поэтому $s \leq 9 \cdot 5 = 45$. Из равенства $s^{5} = n^{2}$ заключаем, что число $s$ должно быть квадратом какого-либо натурального числа, так как все простые делители в разложении числа $s^{5}$ (а значит, и числа $s$) на простые множители должны иметь четные степени. Поэтому число может принимать лишь следующие значении: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Проверка показывает, что лишь для двух значений $s =1$ и $s = 9$ число $n = \sqrt{s^{5}}$ имеет сумму цифр, равную $s$. Поэтому условию задачи удовлетворяют два значения $n = 1$ и $n = 243$.
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: пятая степень суммы цифр десятичной записи числа $n$ равна $n^{2}$.
Решение:
Пусть $n$ - искомое число, $s$ - сумма цифр его десятичной записи, a $k$ - количество этих цифр. Тогда имеют место соотношения
$s^{5}=n^{2}, s \leq 9k, n \geq 10^{2k-2}$,
из которых получаем, что
$9^{5}k^{5} \geq s^{5}=n^{2} \geq 10^{2k-2}$.
Обозначим
$a_{k} = 9^{5}k^{5}/10^{2k-2}$,
тогда из соотношений
$\frac{9^{5}(k+1)^{5}}{9^{5}k^{5}} = \frac{(k+1)^{5}}{k^{5}} \leq 2^{5} < 10^{2} = \frac{10^{2(k+1)-2}}{10^{2k-2}}$,
выполненных при каждом значении $k \in \mathbf{N}$, получаем оценку $a_{k+1} < a_{k}$, т. е. последовательность чисел $a_{k}$ убывает. Поскольку $a_{6} < 1$, то при всех $k \geq 6$ имеем неравенства
$9^{5}k^{5} < 10^{2k - 2}$,
а значит, число $k$ не может принимать значений, больших 5. Поэтому $s \leq 9 \cdot 5 = 45$. Из равенства $s^{5} = n^{2}$ заключаем, что число $s$ должно быть квадратом какого-либо натурального числа, так как все простые делители в разложении числа $s^{5}$ (а значит, и числа $s$) на простые множители должны иметь четные степени. Поэтому число может принимать лишь следующие значении: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Проверка показывает, что лишь для двух значений $s =1$ и $s = 9$ число $n = \sqrt{s^{5}}$ имеет сумму цифр, равную $s$. Поэтому условию задачи удовлетворяют два значения $n = 1$ и $n = 243$.
