Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 128
2014-06-07 
Доказать, что уравнение
$x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x -16 = 0$
имеет ровно два решения.
Решение:
Докажем, что функция
$f(x) = x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x – 16$
принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции
$f^{\prime} (x) = 4x^{3}+ 15x^{2} + 12x - 4 = (x+2)^{2}(4x - 1)$.
При $x < -2$ и при $- 2 < x < 1/4$ имеет место неравенство $f^{\prime}(x) < 0$, а при $x > 1/4$ - неравенство $f^{\prime}(x) > 0$. Поэтому функция $f(x)$ убывает на интервале $(- \infty ; 1/4)$ и возрастает на интервале $(1/4 + \infty)$. Поскольку $f(-10) > 0, f(10) > 0$ и $f(1/4) < f(0) < 0$, то на каждом из двух указанных интервалов функция $f(x)$ однажды принимает значение 0, а уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно два решения.
Доказать, что уравнение
$x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x -16 = 0$
имеет ровно два решения.
Решение:
Докажем, что функция
$f(x) = x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x – 16$
принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции
$f^{\prime} (x) = 4x^{3}+ 15x^{2} + 12x - 4 = (x+2)^{2}(4x - 1)$.
При $x < -2$ и при $- 2 < x < 1/4$ имеет место неравенство $f^{\prime}(x) < 0$, а при $x > 1/4$ - неравенство $f^{\prime}(x) > 0$. Поэтому функция $f(x)$ убывает на интервале $(- \infty ; 1/4)$ и возрастает на интервале $(1/4 + \infty)$. Поскольку $f(-10) > 0, f(10) > 0$ и $f(1/4) < f(0) < 0$, то на каждом из двух указанных интервалов функция $f(x)$ однажды принимает значение 0, а уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно два решения.
