Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 122
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $m \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
у которых каждая из $m$ последних цифр десятичной записи имеет четность, отличную от четности соседних с ней цифр.
Решение:
Прежде всего индукцией по $j \in \mathbf{Z}^{+}$ докажем, что число $5^{2^{j}} - 1$ делится на $2^{j+2}$, но не делится на $2^{j+3}$. При $j=0$ имеем
$5^{2^{0}} – 1 = 4s$,
т. е. утверждение верно. Далее, пусть для некоторого $j \geq 0$ число $5^{2^{j}} -1$ делится на $2^{j+2}$, но не делится на $2^{j+3s}$, тогда число
$5^{2^{j+1s}} – 1 = (5^{2^{j}} - 1)( 5^{2^{j}} + 1)$
делится на $2^{j+3}$, но не делится на $2^{j+4}$, так как
$5^{2^{j}} + 1 = (4 +1)^{2^{j}} + 1 \equiv 2 (mod 4)$.
Докажем теперь утверждение задачи индукцией по $m \in \mathbf{N}$. При $m = 1$ получаем верное утверждение, так как последняя нечетная цифра 5 (десятичной записи) числа $5^{n}$ при $n > 1$ всегда соседствует с предпоследней четной цифрой 2. Пусть утверждение справедливо дли некоторого значения $m \geq 1$, т. е. существует бесконечно много чисел $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых число $5^{n}$ оканчивается $m + 1$ цифрами чередующейся четности. Пусть $5^{n}$ - одно из таких чисел, причем $5^{n} > 10^{m+2}$. Построим число $5^{k}$, оканчивающееся $m + 2$ цифрами чередующейся четности. Если $(m + 2)$-я и $(m + 1)$-я цифры (считая справа) числа $5^{n}$ имеют разную четность, то положим $k = n$. В противном случае положим $k = n + 2^{m-1}$ тогда имеем
$5^{k-(m+2)} – 5^{n-(m+2)} \equiv 5^{n-(m+2)} (5^{2^{m-1}} - 1) \equiv 2^{m+1} (mod 2^{m+2})$,
поскольку число $5^{2^{m-1}} - 1$ делится на $2^{m+1}$, но не делится на $2^{m+2}$. Поэтому
$5^{k} – 5^{n} \equiv 5 \cdot 10^{m+1} (mod 10^{m+2})$,
т. е. последние $m + 1$ цифр чисел $5^{k}$ и $5^{n}$ просто совпадают, а $(m+2)$-е цифры этих чисел имеют разную четность. Таким образом, число $5^{k}$ построено (причем, поскольку $5^{k} \geq 5^{n}$, таких чисел бесконечно много), а значит, утверждение справедливо и для значение $m+1$. Задача решена.
Доказать, что для любого значения $m \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
у которых каждая из $m$ последних цифр десятичной записи имеет четность, отличную от четности соседних с ней цифр.
Решение:
Прежде всего индукцией по $j \in \mathbf{Z}^{+}$ докажем, что число $5^{2^{j}} - 1$ делится на $2^{j+2}$, но не делится на $2^{j+3}$. При $j=0$ имеем
$5^{2^{0}} – 1 = 4s$,
т. е. утверждение верно. Далее, пусть для некоторого $j \geq 0$ число $5^{2^{j}} -1$ делится на $2^{j+2}$, но не делится на $2^{j+3s}$, тогда число
$5^{2^{j+1s}} – 1 = (5^{2^{j}} - 1)( 5^{2^{j}} + 1)$
делится на $2^{j+3}$, но не делится на $2^{j+4}$, так как
$5^{2^{j}} + 1 = (4 +1)^{2^{j}} + 1 \equiv 2 (mod 4)$.
Докажем теперь утверждение задачи индукцией по $m \in \mathbf{N}$. При $m = 1$ получаем верное утверждение, так как последняя нечетная цифра 5 (десятичной записи) числа $5^{n}$ при $n > 1$ всегда соседствует с предпоследней четной цифрой 2. Пусть утверждение справедливо дли некоторого значения $m \geq 1$, т. е. существует бесконечно много чисел $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых число $5^{n}$ оканчивается $m + 1$ цифрами чередующейся четности. Пусть $5^{n}$ - одно из таких чисел, причем $5^{n} > 10^{m+2}$. Построим число $5^{k}$, оканчивающееся $m + 2$ цифрами чередующейся четности. Если $(m + 2)$-я и $(m + 1)$-я цифры (считая справа) числа $5^{n}$ имеют разную четность, то положим $k = n$. В противном случае положим $k = n + 2^{m-1}$ тогда имеем
$5^{k-(m+2)} – 5^{n-(m+2)} \equiv 5^{n-(m+2)} (5^{2^{m-1}} - 1) \equiv 2^{m+1} (mod 2^{m+2})$,
поскольку число $5^{2^{m-1}} - 1$ делится на $2^{m+1}$, но не делится на $2^{m+2}$. Поэтому
$5^{k} – 5^{n} \equiv 5 \cdot 10^{m+1} (mod 10^{m+2})$,
т. е. последние $m + 1$ цифр чисел $5^{k}$ и $5^{n}$ просто совпадают, а $(m+2)$-е цифры этих чисел имеют разную четность. Таким образом, число $5^{k}$ построено (причем, поскольку $5^{k} \geq 5^{n}$, таких чисел бесконечно много), а значит, утверждение справедливо и для значение $m+1$. Задача решена.
