Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 121
2014-06-07 
Доказать, что существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
в десятичной записи каждого из которых можно выделить не менее 1976 цифр 0, идущих подряд.
Решение:
Докажем, что для любого значения $k \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел $m \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих условию
$5^{m} \equiv 1 (mod 2^{k})$.
Действительно, среди чисел
$5^{0}, 5^{1}, 5^{2}, \cdots ,5^{2^{k}}$
найдутся два числа $5^{p}$ и $5^{q}(p > q)$, дающие при делении на $2^{k}$ одинаковые остатки. Тогда их разность
$5^{p} – 5^{q} = 5^{q}(5^{p-q} -1)$
делится на $2^{k}$, а значит, число $5^{p-q} -1$ и все числа вида
$5^{r(p-q)} – 1 (r \in \mathbf{N})$
делятся на $2^{k}$. Таким образом, для каждого значения $m = r( p -q)$, $r \in \mathbf{N}$, имеем
$5^{m} \equiv 1 (mod 2^{k})$,
откуда
$5^{m+k}= 5^{k} (mod 10^{k})$,
т. е. последние $k$ цифр числа $5^{m+k}$ образуют десятичную запись числа $5^{k}$. Пусть число $k$ удовлетворяет неравенству $2^{k} > 10^{1976}$, тогда десятичная запись числа
$5^{k} = 10^{k}/2^{k} < 10^{k-1976}$
содержит не более $k – 1976$ цифр. Следовательно, среди последних $k$ цифр числа $5^{m+k}$ ненулевыми могут быть только последние $k – 1976$ цифр, а остальные 1976 цифр (идущие подряд) являются нулями. Утверждение доказано.
Доказать, что существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
в десятичной записи каждого из которых можно выделить не менее 1976 цифр 0, идущих подряд.
Решение:
Докажем, что для любого значения $k \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел $m \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих условию
$5^{m} \equiv 1 (mod 2^{k})$.
Действительно, среди чисел
$5^{0}, 5^{1}, 5^{2}, \cdots ,5^{2^{k}}$
найдутся два числа $5^{p}$ и $5^{q}(p > q)$, дающие при делении на $2^{k}$ одинаковые остатки. Тогда их разность
$5^{p} – 5^{q} = 5^{q}(5^{p-q} -1)$
делится на $2^{k}$, а значит, число $5^{p-q} -1$ и все числа вида
$5^{r(p-q)} – 1 (r \in \mathbf{N})$
делятся на $2^{k}$. Таким образом, для каждого значения $m = r( p -q)$, $r \in \mathbf{N}$, имеем
$5^{m} \equiv 1 (mod 2^{k})$,
откуда
$5^{m+k}= 5^{k} (mod 10^{k})$,
т. е. последние $k$ цифр числа $5^{m+k}$ образуют десятичную запись числа $5^{k}$. Пусть число $k$ удовлетворяет неравенству $2^{k} > 10^{1976}$, тогда десятичная запись числа
$5^{k} = 10^{k}/2^{k} < 10^{k-1976}$
содержит не более $k – 1976$ цифр. Следовательно, среди последних $k$ цифр числа $5^{m+k}$ ненулевыми могут быть только последние $k – 1976$ цифр, а остальные 1976 цифр (идущие подряд) являются нулями. Утверждение доказано.
