ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Определить, какие цифры в разрядах единиц и десятых стоят в десятичной записи числа
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1980}$.


Решение:


Докажем, что число
$m = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1980} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1980}$
является целым, и определим его последнюю цифру. Обозначим
$a_{n} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2n} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2n} = (5 + 2 \sqrt{6})^{n} + (5 - 2 \sqrt{6})^{n}$
Тогда при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ справедливо равенство
$a_{n+2} = 10 a_{n+1} – a_{n}$.
Действительно, пусть
$(5 + 2 \sqrt{6})^{n}= \alpha, (5 - 2 \sqrt{6})^{n}= \beta $,
тогда
$a_{n} = \alpha + \beta, a_{n+1} = (5 + 2 \sqrt{6}) \alpha + (5 + 2 \sqrt{6}) \beta$,
$a_{n+20} = (5 + 2 \sqrt{6})^{2} \alpha + (5 - 2 \sqrt{6})^{2} \beta = (49 + 20 \sqrt{6}) \alpha +$
$+ (49 - 20 \sqrt{6}) \beta = (50 + 20 \sqrt{6}) \alpha + (50 - 20 \sqrt{6}) \beta – (\alpha + \beta) =$
$ = 10 a_{n+1} – a_{n}$.
Так как числа $a_{0} = 2, a_{1} = 10$ целые, то $a_{n} \in \mathbf{Z}$ при $n \in \mathbf{Z}^{+}$ и, кроме того, каждое из чисел
$a_{n}+ a_{n+2} = 10 a_{n+1}$
делится на 10. Поэтому каждое из чисел
$a_{n+4} – a_{n} = (a_{n+4} + a_{n+2}) - (a_{n+2} + a_{n})$
также делится на 10, а значит, числа
$a_{2},a_{5},a_{10}, \cdots , a_{990}$
дают одинаковые остатки при делении на 10. Поскольку $a_{2} = 98$, десятичная запись числа $m = a_{990}$ оканчивается цифрой 8. Наконец, из оценок
$m = (\sqrt{3}+ \sqrt{2})^{1980} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1980} > $
$> m – (0,5)^{1980} > m - 0,1$
получим, что в десятичной записи числа $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1980}$ в разряде единиц стоит цифра 7, а в разряде десятых - 9.