Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 114
2014-06-07 
Доказать, что если знаменатель правильной дроби не превосходит 100, то в десятичной записи этой дроби не могут встретиться три цифры 1, 6, 7, идущие подряд в указанном порядке.
Решение:
Предположим, что существует дробь $m/n$, где $m, n \in \mathbf{Z}$ и $m < n \leq 100$, причем десятичная запись этой дроби имеет вид
$m/n = 0, a_{1}a_{2} \cdots a_{k} 167 a_{k+4} \cdots$,
где $a_{1},a_{2}, \cdots, a_{k}, a_{k+4}, \cdots $ - некоторые цифры. Тогда для числа $p = 10^{k}m/n$ имеем
$p – [p] = 0,167 a_{k+4} \cdots $,
поэтому
$0,167 \leq \frac{10^{k}m – [p]n}{n} < 0,168$.
Обозначим
$q = 10^{k} m – [p] \: n \in \mathbf{Z}$,
тогда имеем
$1,002 \leq 6q/n < 1,008$.
Следовательно, справедливы соотношения
$0 < 0,002 \leq 6q/n – 1 = (6q - n)/n < 0,008 < 1/100$,
из которых вытекают оценки $0 < 6q - n < n/100 \leq 1$,т. е. число $6q - n$ не может быть целым. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Доказать, что если знаменатель правильной дроби не превосходит 100, то в десятичной записи этой дроби не могут встретиться три цифры 1, 6, 7, идущие подряд в указанном порядке.
Решение:
Предположим, что существует дробь $m/n$, где $m, n \in \mathbf{Z}$ и $m < n \leq 100$, причем десятичная запись этой дроби имеет вид
$m/n = 0, a_{1}a_{2} \cdots a_{k} 167 a_{k+4} \cdots$,
где $a_{1},a_{2}, \cdots, a_{k}, a_{k+4}, \cdots $ - некоторые цифры. Тогда для числа $p = 10^{k}m/n$ имеем
$p – [p] = 0,167 a_{k+4} \cdots $,
поэтому
$0,167 \leq \frac{10^{k}m – [p]n}{n} < 0,168$.
Обозначим
$q = 10^{k} m – [p] \: n \in \mathbf{Z}$,
тогда имеем
$1,002 \leq 6q/n < 1,008$.
Следовательно, справедливы соотношения
$0 < 0,002 \leq 6q/n – 1 = (6q - n)/n < 0,008 < 1/100$,
из которых вытекают оценки $0 < 6q - n < n/100 \leq 1$,т. е. число $6q - n$ не может быть целым. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
