Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 119
2014-06-07 
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ существует число $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее равенству
$(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$
Решение:
Для заданных чисел $m, n \in \mathbf{N}$, пользуясь биномом Ньютона, получаем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n} = \sum^{n}_{i=0} C^{i}_{n} (\sqrt{m})^{n-i} (\pm \sqrt{m-1})^{i}$.
В случае $n = 2j (j \in \mathbf{N}$) инеем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sum_{i=0}^{j} C^{2i}_{n}(\sqrt{m})^{2j-2i}(\sqrt{m-1})^{2i} \pm$
$\pm \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} (\sqrt{m})^{2j-2i+1}(\sqrt{m-1})^{2i-1} = $
$ = \sum_{i=0}^{j} C^{2i}_{n} m^{j-i} (m-1)^{i} \pm \sqrt{m(m - 1)} \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} m^{j-i} (m-1)^{j-1}=$
$= a \pm b \sqrt{m(m-1)}$.
где $a, b \in \mathbf{Z}^{+}$. В случае $n = 2j -1 (j \in \mathbf{N})$ имеем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sum_{i=0}^{j-1} C^{2i}_{n}(\sqrt{m})^{2j-1-2i}(\sqrt{m-1})^{2i} \pm$
$\pm \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} (\sqrt{m})^{2j-2i}(\sqrt{m-1})^{2i-1} = $
$ = \sqrt{m} \sum_{i=0}^{j-1} C^{2i}_{n} m^{j-i-1} (m-1)^{i} \pm \sqrt{m - 1} \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} m^{j-i} (m-1)^{j-1}=$
$= c \sqrt{m} \pm d \sqrt{m-1}$.
где $c,d \in \mathbf{Z}^{+}$. В обоих случаях имеют место равенства
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sqrt{k} \pm \sqrt{l}$,
где $k, l \in \mathbf{Z}^{+}$, причем
$k – l = (\sqrt{k} + \sqrt{l})(\sqrt{k} - \sqrt{l}) = (\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n}(\sqrt{m} - \sqrt{m-1})^{n}=$
$= ((\sqrt{m})^{2} – (\sqrt{m-1})^{2})^{n}=1$
Поэтому
$l = k-1$ и $(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ существует число $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее равенству
$(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$
Решение:
Для заданных чисел $m, n \in \mathbf{N}$, пользуясь биномом Ньютона, получаем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n} = \sum^{n}_{i=0} C^{i}_{n} (\sqrt{m})^{n-i} (\pm \sqrt{m-1})^{i}$.
В случае $n = 2j (j \in \mathbf{N}$) инеем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sum_{i=0}^{j} C^{2i}_{n}(\sqrt{m})^{2j-2i}(\sqrt{m-1})^{2i} \pm$
$\pm \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} (\sqrt{m})^{2j-2i+1}(\sqrt{m-1})^{2i-1} = $
$ = \sum_{i=0}^{j} C^{2i}_{n} m^{j-i} (m-1)^{i} \pm \sqrt{m(m - 1)} \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} m^{j-i} (m-1)^{j-1}=$
$= a \pm b \sqrt{m(m-1)}$.
где $a, b \in \mathbf{Z}^{+}$. В случае $n = 2j -1 (j \in \mathbf{N})$ имеем
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sum_{i=0}^{j-1} C^{2i}_{n}(\sqrt{m})^{2j-1-2i}(\sqrt{m-1})^{2i} \pm$
$\pm \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} (\sqrt{m})^{2j-2i}(\sqrt{m-1})^{2i-1} = $
$ = \sqrt{m} \sum_{i=0}^{j-1} C^{2i}_{n} m^{j-i-1} (m-1)^{i} \pm \sqrt{m - 1} \sum_{i=1}^{j} C^{2i-1}_{n} m^{j-i} (m-1)^{j-1}=$
$= c \sqrt{m} \pm d \sqrt{m-1}$.
где $c,d \in \mathbf{Z}^{+}$. В обоих случаях имеют место равенства
$(\sqrt{m} \pm \sqrt{m-1})^{n}= \sqrt{k} \pm \sqrt{l}$,
где $k, l \in \mathbf{Z}^{+}$, причем
$k – l = (\sqrt{k} + \sqrt{l})(\sqrt{k} - \sqrt{l}) = (\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n}(\sqrt{m} - \sqrt{m-1})^{n}=$
$= ((\sqrt{m})^{2} – (\sqrt{m-1})^{2})^{n}=1$
Поэтому
$l = k-1$ и $(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$,
что и требовалось доказать.
