Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 116
2014-06-07 
Существует ли значение $n \in \mathbf{N}$, при котором числа
$2^{n+1}-1$ и $2^{n-1}(2^{n}-1)$
одновременно являются кубами целых чисел?
Решение:
Предположим, что при некотором значении $n \in \mathbf{N}$ число
$2^{n-1}(2^{n} - 1)$
является кубом целого числа. Заметим, что двойка входит в это произведение с показателем $n – 1$ (ибо второй сомножитель $2^{n} - 1$ не делится на 2), поэтому $n -1 = 3k$, т. е. $n = 3k + 1$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}$. Но тогда число
$2^{n+1} - 1 = 2^{3k +2} - 1 = 4 (7 +1)^{k} - 1 = 3 (mod 7)$
не может быть кубом целого числа, так как куб любого целого числа при делении на 7 может давать остаток 0,1 или 6 (действительно,
$(7m)^{3} \equiv 0 (mod 7), (7m \pm 1)^{3} \equiv \pm 1 (mod 7)$,
$(7m \pm 2) \equiv 1 (mod 7), (7m \pm 3)^{3} \equiv. \mp 1 (mod 7))$.
Таким образом, ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$ числа $2^{n+1} – 1$ и $2^{n-1}(2^{n} - 1)$ не могут одновременно быть кубами целых чисел.
Существует ли значение $n \in \mathbf{N}$, при котором числа
$2^{n+1}-1$ и $2^{n-1}(2^{n}-1)$
одновременно являются кубами целых чисел?
Решение:
Предположим, что при некотором значении $n \in \mathbf{N}$ число
$2^{n-1}(2^{n} - 1)$
является кубом целого числа. Заметим, что двойка входит в это произведение с показателем $n – 1$ (ибо второй сомножитель $2^{n} - 1$ не делится на 2), поэтому $n -1 = 3k$, т. е. $n = 3k + 1$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}$. Но тогда число
$2^{n+1} - 1 = 2^{3k +2} - 1 = 4 (7 +1)^{k} - 1 = 3 (mod 7)$
не может быть кубом целого числа, так как куб любого целого числа при делении на 7 может давать остаток 0,1 или 6 (действительно,
$(7m)^{3} \equiv 0 (mod 7), (7m \pm 1)^{3} \equiv \pm 1 (mod 7)$,
$(7m \pm 2) \equiv 1 (mod 7), (7m \pm 3)^{3} \equiv. \mp 1 (mod 7))$.
Таким образом, ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$ числа $2^{n+1} – 1$ и $2^{n-1}(2^{n} - 1)$ не могут одновременно быть кубами целых чисел.
