Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина, что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник.
Подробнее
Для каждого $k=1,2,3,4,5$ найдите необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять число $a>0$, для того, чтобы существовал тетраэдр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6-k$ ребер—длину $l$.
Подробнее
В тетраэдре $ABCD DB \perp DC$ и основание перпендикуляра, проведенного через точку $D$ к плоскости треугольника $ABC$, совпадает с ортоцентром этого треугольника. Докажите, что $(|AB| + |BC| + |AC|)^{2} \leq 6 (|AD|^{2} + |BD|^{2} + |CD|^{2})$. Для каких тетраэдров имеет место равенство?
Подробнее
Каждая грань тетраэдра $ABCD$ — остроугольный треугольник. Рассмотрим все замкнутые ломаные линии $XYZTX$, определенные следующим образом: $X$ — точка на ребре $AB$, отличная от $A$ и $B$. Аналогично $Y, Z, T$ — внутренние точки ребер $BC, CD, DA$ соответственно. Докажите, что:
а) если $\hat{DAB} + \hat{BCD} \neq \hat{ABC} + \hat{CDA}$, то среди этих ломаных нет ни одной кратчайшей;
б) если $\hat{DAB} + \hat{BCD} = \hat{ABC} + \hat{CDA}$, то существует бесконечно много ломаных минимальной длины и эта длина равна $2 |AC| \sin \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \hat{BAC} + \hat{CAD} + \hat{DAB}$.
Подробнее
Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите, что существует правильный тетраэдр с вершинами на каждой из этих плоскостей.
Подробнее
Выясните, существует ли конечное множество $M$ точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек $A, B$, принадлежащих $M$, найдутся две другие точки $C,D$, принадлежащие $M$, такие, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны и не совпадают.
Подробнее
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - соответственно верхнее и нижнее основания и $AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime} \parallel DD^{\prime}$. Точка $X$ движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата $ABCD$ в направлении $ABCDA$, и точка $Y$ движется с той же скоростью по сторонам квадрата $B^{\prime}C^{\prime}CB$ в направлении $B^{\prime}C^{\prime}CBB^{\prime}$. Точка $X$ и $Y$ начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений $A$ и $B^{\prime}$ соответственно. Найдите и начертите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Подробнее
Тетраэдр $SABC$ обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер $SA$; $SB$; $SC$; $AB$; $BC$; $CA$ или их продолжений.
Докажите: а) что тетраэдр $SABC$ правильный; б) что, обратно, для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных сфер.
Подробнее
Найдите в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку $A$, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком $BC$.
Подробнее
Дан тетраэдр $ABCD$. Вершина $D$ соединена с центром тяжести основания точкой $D_{1}$. Через вершины треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Докажите, что объем тетраэдра $ABCD$ в три раза меньше объема тетраэдра $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Будет ли верным результат, если точка $D_{1}$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$?
Подробнее
Дан тетраэдр $ABCD$. Пусть ребро $AB$ имеет длину $a$, ребро $CD$ имеет длину $b$; расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равно $d$, величина угла между этими прямыми равна $\omega$. Тетраэдр рассечен на две части плоскостью $P$, параллельной противоположным ребрам $AB$ и $CD$. Вычислите отношение объемов обеих частей, если известно, что отношение расстояний от $AB$ до $P$ к расстоянию от $CD$ до $P$ равно $k$.
Подробнее
Докажите что сумма расстоянии от центра шара, описанного около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше суммы расстоянии от любой другой точки до вершин тетраэдра.
Подробнее
При каком расположении двух бесконечных прямых круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е. будет целиком лежать в одной плоскости)?
Подробнее
Даны три конгруэнтных прямоугольника. Их центры совпадают, а плоскости взаимно перпендикулярны. Каждая прямая по которой пересекаются плоскости двух прямоугольников, содержит по одной из средних линий этих двух прямоугольников, причем длина этих линий различна. Рассмотрим выпуклый многогранник, вершины которого совпадают с вершинами прямоугольников.
а) Определите объем этого многогранника.
б) Может ли многогранник оказаться правильным и если может, то каково условие этого?
Подробнее
Докажите, что объем $V$ и боковая поверхность $S$ любого прямого кругового конуса удовлетворяют неравенству
$\left ( \frac{6V}{\pi} \right )^{2} \leq \left ( \frac{2S}{\pi \sqrt{3}} \right )^{3}$,
когда возможно равенство?
Подробнее