Возьмем гибкий тонкостенный цилиндр диаметра $d$, например соломинку для коктейля. Чему равно ребро е максимального правильного тетраэдра, который можно протолкнуть сквозь эту соломинку?
Подробнее
Может ли у какого-нибудь тетраэдра радиус его шестнадцатиточечной сферы составлять половину радиуса сферы, описанной вокруг этого тетраэдра? (Шестнадцатиточечной называется сфера, проходящая через центры окружностей, описанных около граней данного тетраэдра.)
Подробнее
Найдите объем тетраэдра, вершины которого расположены в точках с координатами ($F_{n}, F_{n+1}, F_{n+2}$), ($F_{n+З}, F_{n+4}, F_{n+5}$), ($F_{n+6}, F_{n+7}, F_{n+8}$) и ($F_{n + 9}, F_{n + 10}, F_{n + 11}$), где $F_{i}$ - $i$-й член последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8 ...
Подробнее
Правильный октаэдр с ребром $e$ пересекается плоскостью, параллельной одной из его граней. Найдите периметр и площадь полученного сечения.
Подробнее
Ось цилиндрического отверстия, проделанного в шаре, имеет в длину 10 с м и лежит на диаметре этого шара. Чему равен объем оставшейся части шара?
Подробнее
Покажите, что пространство можно заполнить ячейками, имеющими форму ромбических додекаэдров.
Подробнее
Докажите, что если на сфере $n$ различных больших кругов пересекаются более чем в двух точках, то они пересекаются по крайней мере в $2n$ точках ($n \geq 2$; учитываются всевозможные точки, общие по крайней мере двум из кругов).
Подробнее
Пусть в некотором шаре заданы три взаимно перпендикулярные хорды $APB, CPD$ и $EPF$, проходящие через одну точку. Определите радиус шара, если известно, что $AP = 2a, BP = 2b, CP = 2c, DP = 2d, EP = 2e$ и $FP = 2f$.
Подробнее
