Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1024
2015-02-12 
Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина, что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник.
Решение:
Введем обозначения: $A_{i} (i=1,2,3,4)$ — вершина тетраэдра, $a_{ik}=a_{ki}$ — длина ребра $A_{i}A_{k}$. Пусть $a_{12}$ - длина ребра, которое не короче остальных, т. е.
$a_{12} \geq a_{ik} (i,k = 1,2,3,4, i \neq k)$.
В треугольниках $A_{1}A_{2}A_{3}$ и $A_{1}A_{2}A_{4}$
$a_{12} < a_{13} + a_{23}, a_{12} < a_{14} + a_{24}$.
Отсюда
$a_{12} < a_{13} + a_{23} + a_{14} + a_{24}$. (1)
Предположим, что из отрезков $a_{12}, a_{13}, a_{14}$ нельзя построить треугольник; тогда
$a_{12} \geq a_{13} + a_{14}$ (2)
Из (1) и (2) следует, что $a_{12} < a_{23} + a_{24}$, а в таком случае из отрезков $a_{12}, a_{23}, a_{24}$ можно построить треугольник.
Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина, что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник.
Решение:
Введем обозначения: $A_{i} (i=1,2,3,4)$ — вершина тетраэдра, $a_{ik}=a_{ki}$ — длина ребра $A_{i}A_{k}$. Пусть $a_{12}$ - длина ребра, которое не короче остальных, т. е.
$a_{12} \geq a_{ik} (i,k = 1,2,3,4, i \neq k)$.
В треугольниках $A_{1}A_{2}A_{3}$ и $A_{1}A_{2}A_{4}$
$a_{12} < a_{13} + a_{23}, a_{12} < a_{14} + a_{24}$.
Отсюда
$a_{12} < a_{13} + a_{23} + a_{14} + a_{24}$. (1)
Предположим, что из отрезков $a_{12}, a_{13}, a_{14}$ нельзя построить треугольник; тогда
$a_{12} \geq a_{13} + a_{14}$ (2)
Из (1) и (2) следует, что $a_{12} < a_{23} + a_{24}$, а в таком случае из отрезков $a_{12}, a_{23}, a_{24}$ можно построить треугольник.
