Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1079
2015-03-07 
Дан тетраэдр $ABCD$. Вершина $D$ соединена с центром тяжести основания точкой $D_{1}$. Через вершины треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Докажите, что объем тетраэдра $ABCD$ в три раза меньше объема тетраэдра $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Будет ли верным результат, если точка $D_{1}$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$?
Решение:
Рассмотрим решение сразу для общего случая.
Возьмем произвольную точку $D_{1}$, внутри треугольника $ABC$ (рис.). Проведем прямые $AA_{1} \perp BB_{1} \perp CC_{1} \perp DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней тетраэдра в точках $A_{1}$; $B_{1}$; $C_{1}$.
В треугольнике $ABC$ проведем прямые $AD_{1}$; $BD_{1}$; $CD_{1}$ до их пересечения с противоположными сторонами в точках $A^{\prime}$; $B^{\prime}$; $C^{\prime}$. Прямая $A_{1}D$ проходит через точку $A^{\prime}$ так как $A_{1}D$ лежит в плоскости $A_{1}BC$ и $AA_{1} \perp D_{1}D$. Аналогично обосновывается, что прямая $B_{1}D$ проходит через $B^{\prime}$ прямая $C_{1}D$ — через $C^{\prime}$.
Поместим в вершины $\triangle ABC$ грузы $x$, $y$, $z$, чтобы их центр тяжести был в точке $D_{1}$. Например, положим
$\frac{|AB^{\prime}|}{|B^{\prime}C|} = \frac{z}{x}; \frac{|CA^{\prime}|}{|A^{\prime}B|} = \frac{y}{z}; \frac{|BC^{\prime}|}{|C^{\prime}A|} = \frac{x}{y}$.
Для этого достаточно выполнение условий* (* В дальнейшем считается известным, что центр тяжести системы масс не изменится, если часть масс заменить массой, равной их сумме, расположенной в центре тяжести этих масс. Для случая трех масс это приводит к тождеству (в обозначениях задачи): $|AC^{\prime}| \cdot |BA^{\prime}| \cdot |CB^{\prime}| = |BC^{\prime}| \cdot |CA^{\prime}| \cdot |AB^{\prime}|$.)
$x = |B^{\prime}C|; y = \frac{|CA^{\prime}|}{|A^{\prime}B|} \cdot |AB^{\prime}|; z = |AB^{\prime}|$.
Имеем:
$\frac{S_{\triangle AC^{\prime}B^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{|AB^{\prime}| \cdot |AC^{\prime}|}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{yz}{(x+y)(x+z)}$.
Аналогично
$\frac{S_{\triangle BC^{\prime}A^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{xz}{(y+x)(y+z)}$
и
$\frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{xy}{(z+x)(z+y)}$
Тогда
$\frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = 1 - \frac{xy}{(x+z)(y+z)} - \frac{xz}{(x+y)(z+y)} - \frac{yz}{(y+x)(z+x)} = \frac{2xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)}$.
Так как тетраэдры $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D$ имеют общую высоту, то
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{ABCD}} = \frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.
Далее, $\frac{|A^{\prime}D|}{|DA_{1}|} = \frac{|A^{\prime}D|}{|D_{1}A|} = \frac{x}{y+z}$, аналогично
$\frac{B^{\prime}D}{|B_{1}D|} = \frac{y}{x+z} ; \frac{|C^{\prime}D|}{|C_{1}D|} = \frac{z}{x+y}$.
Так как трехгранные углы $DA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $DA_{1}B_{1}C_{1}$ равны, то объемы тетраэдров $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ пропорциональны произведениям боковых ребер, т. е.
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}} = \frac{|AD^{\prime}| \cdot |BD^{\prime}| \cdot |C^{\prime}D|}{|A_{1}D| \cdot |B_{1}D| \cdot |C_{1}D|} = \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$,
но
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{ABCD}} = \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} = 2 \frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}}$
или $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D} = 2V_{ABCD}$. Переместим грузы в треугольнике $ABC$ так: в точку $A^{\prime}$ груз $\frac{y+z}{2}$, в $B^{\prime}$ груз $\frac{x+z}{2}$, в $C^{\prime} \frac{x+y}{2}$. При этом центр тяжести остался в точке $D_{1}$ затем поместим в вершины $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ грузы $\frac{x}{2}$, $\frac{y}{2}$, $\frac{z}{2}$. Тогда центр тяжести каждой из пар точек $(A_{1};A^{\prime})$; $(B_{1};B^{\prime})$, $(c_{1};C^{\prime})$ будет лежать в точке $D$, так как
$\frac{|A_{1}D|}{|DA^{\prime}|} = \frac{|AD_{1}|}{|D_{1}A^{\prime}|} = \frac{y+z}{x} = \frac{\frac{y+z}{2}}{\frac{x}{2}}$
и аналогично для других пар. Значит, и общий центр тяжести будет лежать в $D$. С другой стороны, центр тяжести точек $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ лежит в точке $D_{1}$ и его масса равна $x+y+z$. А центр тяжести точек $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежит в плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и в то же время на прямой $DD_{1}$, т. е. в точке $D_{1}$, и его масса равна $\frac{x+y+z}{2}$. Следовательно, $\frac{|D_{1}D|}{DD^{\prime}} = \frac{1}{2}$ и $\frac{|D^{\prime}D_{1}|}{|D^{\prime}D|} = \frac{3}{2}$.
Значит, и отношение высот, проведенных через точки $D_{1}$ и $D_{k}$ плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$, равно $\frac{3}{2}$. Но у тетраэдров $A_{1}B_{1}C_{1}D$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ общее основание $A_{1}B_{1}C_{1}$. Следовательно, $\frac{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}} = \frac{3}{2}$, но $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D} = 2V_{ABCD}$. Поэтому $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = 3 V_{ABCD}$.
Дан тетраэдр $ABCD$. Вершина $D$ соединена с центром тяжести основания точкой $D_{1}$. Через вершины треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Докажите, что объем тетраэдра $ABCD$ в три раза меньше объема тетраэдра $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Будет ли верным результат, если точка $D_{1}$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$?
Решение:
Рассмотрим решение сразу для общего случая.
Возьмем произвольную точку $D_{1}$, внутри треугольника $ABC$ (рис.). Проведем прямые $AA_{1} \perp BB_{1} \perp CC_{1} \perp DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней тетраэдра в точках $A_{1}$; $B_{1}$; $C_{1}$.
В треугольнике $ABC$ проведем прямые $AD_{1}$; $BD_{1}$; $CD_{1}$ до их пересечения с противоположными сторонами в точках $A^{\prime}$; $B^{\prime}$; $C^{\prime}$. Прямая $A_{1}D$ проходит через точку $A^{\prime}$ так как $A_{1}D$ лежит в плоскости $A_{1}BC$ и $AA_{1} \perp D_{1}D$. Аналогично обосновывается, что прямая $B_{1}D$ проходит через $B^{\prime}$ прямая $C_{1}D$ — через $C^{\prime}$.
Поместим в вершины $\triangle ABC$ грузы $x$, $y$, $z$, чтобы их центр тяжести был в точке $D_{1}$. Например, положим
$\frac{|AB^{\prime}|}{|B^{\prime}C|} = \frac{z}{x}; \frac{|CA^{\prime}|}{|A^{\prime}B|} = \frac{y}{z}; \frac{|BC^{\prime}|}{|C^{\prime}A|} = \frac{x}{y}$.
Для этого достаточно выполнение условий* (* В дальнейшем считается известным, что центр тяжести системы масс не изменится, если часть масс заменить массой, равной их сумме, расположенной в центре тяжести этих масс. Для случая трех масс это приводит к тождеству (в обозначениях задачи): $|AC^{\prime}| \cdot |BA^{\prime}| \cdot |CB^{\prime}| = |BC^{\prime}| \cdot |CA^{\prime}| \cdot |AB^{\prime}|$.)
$x = |B^{\prime}C|; y = \frac{|CA^{\prime}|}{|A^{\prime}B|} \cdot |AB^{\prime}|; z = |AB^{\prime}|$.
Имеем:
$\frac{S_{\triangle AC^{\prime}B^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{|AB^{\prime}| \cdot |AC^{\prime}|}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{yz}{(x+y)(x+z)}$.
Аналогично
$\frac{S_{\triangle BC^{\prime}A^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{xz}{(y+x)(y+z)}$
и
$\frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{xy}{(z+x)(z+y)}$
Тогда
$\frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = 1 - \frac{xy}{(x+z)(y+z)} - \frac{xz}{(x+y)(z+y)} - \frac{yz}{(y+x)(z+x)} = \frac{2xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)}$.
Так как тетраэдры $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D$ имеют общую высоту, то
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{ABCD}} = \frac{S_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.
Далее, $\frac{|A^{\prime}D|}{|DA_{1}|} = \frac{|A^{\prime}D|}{|D_{1}A|} = \frac{x}{y+z}$, аналогично
$\frac{B^{\prime}D}{|B_{1}D|} = \frac{y}{x+z} ; \frac{|C^{\prime}D|}{|C_{1}D|} = \frac{z}{x+y}$.
Так как трехгранные углы $DA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $DA_{1}B_{1}C_{1}$ равны, то объемы тетраэдров $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ пропорциональны произведениям боковых ребер, т. е.
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}} = \frac{|AD^{\prime}| \cdot |BD^{\prime}| \cdot |C^{\prime}D|}{|A_{1}D| \cdot |B_{1}D| \cdot |C_{1}D|} = \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$,
но
$\frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{ABCD}} = \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} = 2 \frac{V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}}$
или $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D} = 2V_{ABCD}$. Переместим грузы в треугольнике $ABC$ так: в точку $A^{\prime}$ груз $\frac{y+z}{2}$, в $B^{\prime}$ груз $\frac{x+z}{2}$, в $C^{\prime} \frac{x+y}{2}$. При этом центр тяжести остался в точке $D_{1}$ затем поместим в вершины $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ грузы $\frac{x}{2}$, $\frac{y}{2}$, $\frac{z}{2}$. Тогда центр тяжести каждой из пар точек $(A_{1};A^{\prime})$; $(B_{1};B^{\prime})$, $(c_{1};C^{\prime})$ будет лежать в точке $D$, так как
$\frac{|A_{1}D|}{|DA^{\prime}|} = \frac{|AD_{1}|}{|D_{1}A^{\prime}|} = \frac{y+z}{x} = \frac{\frac{y+z}{2}}{\frac{x}{2}}$
и аналогично для других пар. Значит, и общий центр тяжести будет лежать в $D$. С другой стороны, центр тяжести точек $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ лежит в точке $D_{1}$ и его масса равна $x+y+z$. А центр тяжести точек $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежит в плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и в то же время на прямой $DD_{1}$, т. е. в точке $D_{1}$, и его масса равна $\frac{x+y+z}{2}$. Следовательно, $\frac{|D_{1}D|}{DD^{\prime}} = \frac{1}{2}$ и $\frac{|D^{\prime}D_{1}|}{|D^{\prime}D|} = \frac{3}{2}$.
Значит, и отношение высот, проведенных через точки $D_{1}$ и $D_{k}$ плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$, равно $\frac{3}{2}$. Но у тетраэдров $A_{1}B_{1}C_{1}D$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ общее основание $A_{1}B_{1}C_{1}$. Следовательно, $\frac{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D}} = \frac{3}{2}$, но $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D} = 2V_{ABCD}$. Поэтому $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = 3 V_{ABCD}$.
