Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1088
2015-03-07 
Докажите что сумма расстоянии от центра шара, описанного около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше суммы расстоянии от любой другой точки до вершин тетраэдра.
Решение:
Опишем около заданного тетраэдра $ABCD$ сферу. Через вершины $A$, $B$, $C$, $D$ тетраэдра проведем к сфере касательные плоскости, получим новый тетраэдр $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, гомотетичный данному с коэффициентом гомотетии (—3). Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри или на границе тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, до его граней постоянна и равна высоте тетраэдра, опущенной на соответствующую грань, т. е. равна объему, деленному на одну треть площади грани.
Пусть точка $M$ лежит вне тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Аналогично предыдущему, рассмотрим четыре тетраэдра с общей вершиной в точке $M$ и основаниями — гранями тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. В этом случае тетраэдры $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, $MA^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}$, $MA^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ и $MB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ перекрываются. Однако, как нетрудно проверить, тетраэдр $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ содержится в их сумме. Действительно, пусть точка $N$ внутренняя. Покажем, что она принадлежит хотя бы одному из четырех тетраэдров. Проведем прямую $MN$, она пересечет по крайней мере две грани тетраэдра. Возьмем ту грань (или любую из граней), в которой лежит дальняя точка пересечения. Рассмотрим тетраэдр с вершинами в точке $M$ и в вершинах этой грани. Точка $N$ будет внутренней точкой этого тетраэдра. Поэтому сумма их объемов больше объема тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, и, следовательно, сумма расстояний от точки $M$ до граней тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ больше его высоты, а сумма наклонных $MA$, $MB$, $MC$, $MD$ будет еще больше.
Докажите что сумма расстоянии от центра шара, описанного около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше суммы расстоянии от любой другой точки до вершин тетраэдра.
Решение:
Опишем около заданного тетраэдра $ABCD$ сферу. Через вершины $A$, $B$, $C$, $D$ тетраэдра проведем к сфере касательные плоскости, получим новый тетраэдр $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, гомотетичный данному с коэффициентом гомотетии (—3). Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри или на границе тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, до его граней постоянна и равна высоте тетраэдра, опущенной на соответствующую грань, т. е. равна объему, деленному на одну треть площади грани.
Пусть точка $M$ лежит вне тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Аналогично предыдущему, рассмотрим четыре тетраэдра с общей вершиной в точке $M$ и основаниями — гранями тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. В этом случае тетраэдры $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, $MA^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}$, $MA^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ и $MB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ перекрываются. Однако, как нетрудно проверить, тетраэдр $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ содержится в их сумме. Действительно, пусть точка $N$ внутренняя. Покажем, что она принадлежит хотя бы одному из четырех тетраэдров. Проведем прямую $MN$, она пересечет по крайней мере две грани тетраэдра. Возьмем ту грань (или любую из граней), в которой лежит дальняя точка пересечения. Рассмотрим тетраэдр с вершинами в точке $M$ и в вершинах этой грани. Точка $N$ будет внутренней точкой этого тетраэдра. Поэтому сумма их объемов больше объема тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, и, следовательно, сумма расстояний от точки $M$ до граней тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ больше его высоты, а сумма наклонных $MA$, $MB$, $MC$, $MD$ будет еще больше.
