Плоскости $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ касаются описанной около тетраэдра ABCD сферы в точках А, В. С, D соответственно. Доказать, что если линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ лежит в одной плоскости с прямой CD, то линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$ лежит в одной плоскости с прямой АВ.
Подробнее
Рассматриваются кубы, центры которых совпадают с центром симметрии заданного прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a < b < c$, а грани параллельны граням последнего. Найти ребро куба, имеющего наименьшую разность между объемами объединения и пересечения с этим параллелепипедом.
Подробнее
Доказать, что внутри куба с ребром а можно разместить два правильных тетраэдра с ребром а, не имеющих общих точек.
Подробнее
В пространстве расположены 5 точек так, что никакие 4 из них не лежат в одной плоскости. Доказать, что некоторая прямая, проходящая через 2 из них, пересекает плоскость, содержащую остальные 3точки, внутри треугольника с вершинами в этих 3 точках.
Подробнее
Пространство разбито на 5 непересекающихся непустых множеств. Доказать, что некоторая плоскость имеет общие точки по крайней мере с 4 множествами.
Подробнее
Доказать, что при любом разбиении пространства на 3 множества хотя бы одно из множеств отличается тем, что в нем для каждого значения $a > 0$ можно выбрать 2 точки, расстояние между которыми равно $a$.
Подробнее
Доказать, что для любых векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ справедливо равенство
$\sum (\varepsilon_{1}\mathbf{a}_{1} + \varepsilon_{2}\mathbf{a}_{2} + \varepsilon_{3}\mathbf{a}_{3})^{2} = 8 \sum_{k=1}^{3} \mathbf{a}^{2}_{k}$,
в котором сумма слева берется по всем 8 различным наборам чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} \in \{ -1; 1 \}$. Обобщить это утверждение на случай любого числа $n \in \mathbf{N}$ векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$.
Подробнее
Через концы А и В отрезка длины а проведены прямые, перпендикулярные друг другу и отрезку АВ. На этих прямых берутся точки С и D соответственно так, чтобы точка пересечения отрезка CD с плоскостью, проходящей через середину О отрезка АВ перпендикулярно ему, была удалена от точки О на расстояние r. Доказать, что длина отрезка CD определяется значениями a и r. Найти геометрическое место точек С.
Подробнее
Сфера $s$ радиуса $r$ проходит через центр сферы $S$ радиуса $R$. Доказать, что если хорда АВ сферы $S$ касается сферы $s$ в точке С, то
$AC^{2} + BC^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
Подробнее
Каждая из двух несовпадающих сфер радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ касается внутренним образом сферы $S$ радиуса $R$ и проходит через точки А, В, С, расположенные так, что перпендикуляр к плоскости AВС, проходящий через точку А, проходит и через центр сферы $S$. Доказать, что $r_{1} + r_{2} = R$.
Подробнее
Через $S$ и $V$ обозначены площадь поверхности и объем правильной n-угольной пирамиды.
а) Для заданных значении $n$ и $S$ найти наибольшее значение $V$.
б) Найти стороны основании и высоты всех пирамид, для которых $n = 4, S = 144, V = 64$.
Подробнее
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, среди всех правильных 2n-угольных призм $A_{1} \cdots A_{2n}A_{1}^{\prime} \cdots A_{2n}^{\prime}$ с фиксированным радиусом $R$ окружности, описанной около основания, наибольший угол между диагональю $A_{1}A_{n+1}^{\prime}$ и плоскостью $A_{1}A_{3}A_{n+2}^{\prime}$ имеет призма, для которой
$A_{1}A_{1}^{\prime} = 2R \cos (180^{\circ}/2n)$.
Подробнее
Доказать, что если в пирамиде с равными боковыми ребрами любые соседние боковые грани образуют равные двугранные углы, а основанием служит многоугольник с нечетным числом сторон, то этот многоугольник правильный.
Подробнее
Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость $\alpha$ пересекает прямые AD, SA и SC в точках Р, Q, R соответственно так, что
$\frac{AP}{AD} = \frac{SQ}{SA} = \frac{RC}{SC}$
причем все три точки A, S и С либо одновременно принадлежат отрезкам PD, QA и SR соответственно, либо одновременно им не принадлежат. Точка N является серединой отрезка CD, а точка М на прямой SB расположена так, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Доказать, что геометрическим местом точек М при всевозможных положениях плоскости $\alpha$ является некоторый отрезок длины $(\sqrt{2}/2) SB$.
Подробнее
Площади оснований усеченной пирамиды равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а площадь боковой поверхности равна $S$. Доказать, что если некоторая плоскость, параллельная основаниям, делит пирамиду па две усеченные пирамиды, в каждую из которых можно вписать сферу, то
$S = (\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$.
Подробнее