Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1029
2015-02-14 
Для каждого $k=1,2,3,4,5$ найдите необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять число $a>0$, для того, чтобы существовал тетраэдр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6-k$ ребер—длину $l$.
Решение:
Рассмотрим возможные случаи.
1) $k=1$. Пусть $|AB| = a, |AD| = |AC| = |CB| =|BD| = |CD| = 1. M$ — середина ребра $CD$ (рис.). Тогда из треугольника $BCD$ имеем $|BM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$; из $\triangle ACD$ имеем $|AM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В $\triangle ABM |AB| < |AM| + |BM|$, т. е. $|AB| < \sqrt{3}$, или $a < \sqrt{3}$. Это условие и достаточно. Действительно, тетраэдр, у которого грани $ACD$ и $CBD$ — равносторонние треугольники со стороной 1, а ребро $AB$ имеет длину $a < \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = |AM| + |BM|$, всегда можно построить.
2) $k=2$. В этом случае имеются две возможности:
а) Ребра длины $a$ исходят из одной вершины.
$|AC| = |AD| = a; |AB| = |BC| = |BD| = |CD| = 1$.
В этом случае из $\triangle BCD$ (рис.) имеем $|BM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$; из $\triangle ACM |AM| = \sqrt{a^{2} - \frac{1}{4}}$. В треугольнике $ABM |AB| - |BM| < |AM| < |AB| + |BM|$, тогда
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{a^{2} - \frac{1}{4}} < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Все части неравенства положительны. Поэтому, возвысив каждую часть неравенства в квадрат, получим неравенство
$1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} < a^{2} - \frac{1}{4} < 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}$,
равносильное данному. Отсюда
$2 - \sqrt{3} < a^{2} < 2 + \sqrt{3}$.
Извлекая корень из каждой части неравенства, получим:
$\sqrt{2 - \sqrt{3}} < a < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
Это условие является и достаточным, что устанавливается построением тетраэдра, отвечающего указанным условиям. Например, построив равносторонний треугольник $BCD$, через середину $CD$ — точку $M$ построим плоскость, перпендикулярную ребру $CD$. В этой плоскости из точки $B$ опишем дугу радиуса $l$ и на ней найдем четвертую вершину тетраэдра, удаленную от $M$ на расстояние $AM$ такое, что
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < |AM| < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) Ребра длины $a$ противоположны.
$|AB| = |CD| = a;|AC| = |AD| = |BC| = |BD| = 1$. Тогда из $\triangle MBD$ (рис.) $|MB| = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$, а из $\triangle MAD |AM| = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$; из $\triangle ABM |AM| + |MB| > |AB|$, отсюда $2 \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$, или $4 \left ( 1 - \frac{a^{2}}{4} \right ) > a^{2}; 4 – a^{2} > a^{2}; 2a^{2} < 4; a < \sqrt{2}$.
Это условие и достаточно, что можно показать, построив тетраэдр, удовлетворяющий указанным условиям. Можно, например, построить 4 треугольника со сторонами 1,1 и $a < \sqrt{2}$. Соединить их так, как указано на рисунке. Получим тетраэдр с ребрами $|CD| = |AB| = a, |AC| = |AD| = |CB| = |BD| = 1$.
Таким образом, при $k=2$ необходимым и достаточным условием существования тетраэдра будет $0 < a < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
3) $k=3$. Могут быть три случая взаимного расположения ребер.
а) Ребра длины $a$ имеют общую вершину. $|AC| = |AB| = |AD| = a; |BC| = |BD| = |CD| = 1$. Тогда должно быть $|AC| > |CO|$, где $O$ - центр треугольника $BCD$ (рис.). Это условие, очевидно, необходимо и достаточно:
$|CO| = R = \frac{1}{\sqrt{3}}, a > R, a > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
б) Ребра длины $a$ образуют треугольник. Пусть $|BC| = |BD| = |CD| = a; |AC| = |AB| = |AD| = 1$ (рис.).
Аналогично предыдущему случаю получаем, что
$|CO| < |AC|; |CO| = R; a=R \sqrt{3}$;
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} ; R <1$;
$\frac{a}{\sqrt{3}} < 1; a \sqrt{3}$.
Случай в), когда $|AB| = |CD| = |BC| = a; |AC| = |AD| = |DB| = 1$, рассматривать не нужно, так как необходимые и достаточные условия на число $a$ в случаях а) и б) уже покрывают всю положительную полуось $\left ( a > \frac{1}{\sqrt{3}}; a < \sqrt{3} \right )$. Поэтому для $k=3$ искомый тетраэдр существует при любом $a > 0$.
4) $k=4$ и $k=5$ легко сводятся к $k=2$ и $k=1$.
Действительно, при $k=4$ уменьшим все ребра тетраэдра в $a$ раз, получим 4 ребра длины 1 и два ребра длины $\frac{1}{a}$. Обозначим $\frac{1}{a} = b$, тогда, учитывая случай 2), необходимое и достаточное условие запишется так:
$0 < b < \sqrt{2+ \sqrt{3}}$, т.е. $0 < \frac{1}{a} < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
Отсюда $a > \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ или $a > \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
При $k=5$, выполнив те же преобразования, получим 5 ребер длины 1 и одно длины $b = \frac{1}{a}$.
Исходя из случая (1), получим $b < \sqrt{3}$, отсюда $\frac{1}{a} < \sqrt{3}$ или $a > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для каждого $k=1,2,3,4,5$ найдите необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять число $a>0$, для того, чтобы существовал тетраэдр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6-k$ ребер—длину $l$.
Решение:
Рассмотрим возможные случаи.
1) $k=1$. Пусть $|AB| = a, |AD| = |AC| = |CB| =|BD| = |CD| = 1. M$ — середина ребра $CD$ (рис.). Тогда из треугольника $BCD$ имеем $|BM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$; из $\triangle ACD$ имеем $|AM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В $\triangle ABM |AB| < |AM| + |BM|$, т. е. $|AB| < \sqrt{3}$, или $a < \sqrt{3}$. Это условие и достаточно. Действительно, тетраэдр, у которого грани $ACD$ и $CBD$ — равносторонние треугольники со стороной 1, а ребро $AB$ имеет длину $a < \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = |AM| + |BM|$, всегда можно построить.
2) $k=2$. В этом случае имеются две возможности:
а) Ребра длины $a$ исходят из одной вершины.
$|AC| = |AD| = a; |AB| = |BC| = |BD| = |CD| = 1$.
В этом случае из $\triangle BCD$ (рис.) имеем $|BM| = \frac{\sqrt{3}}{2}$; из $\triangle ACM |AM| = \sqrt{a^{2} - \frac{1}{4}}$. В треугольнике $ABM |AB| - |BM| < |AM| < |AB| + |BM|$, тогда
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{a^{2} - \frac{1}{4}} < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Все части неравенства положительны. Поэтому, возвысив каждую часть неравенства в квадрат, получим неравенство
$1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} < a^{2} - \frac{1}{4} < 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}$,
равносильное данному. Отсюда
$2 - \sqrt{3} < a^{2} < 2 + \sqrt{3}$.
Извлекая корень из каждой части неравенства, получим:
$\sqrt{2 - \sqrt{3}} < a < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
Это условие является и достаточным, что устанавливается построением тетраэдра, отвечающего указанным условиям. Например, построив равносторонний треугольник $BCD$, через середину $CD$ — точку $M$ построим плоскость, перпендикулярную ребру $CD$. В этой плоскости из точки $B$ опишем дугу радиуса $l$ и на ней найдем четвертую вершину тетраэдра, удаленную от $M$ на расстояние $AM$ такое, что
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < |AM| < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) Ребра длины $a$ противоположны.
$|AB| = |CD| = a;|AC| = |AD| = |BC| = |BD| = 1$. Тогда из $\triangle MBD$ (рис.) $|MB| = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$, а из $\triangle MAD |AM| = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$; из $\triangle ABM |AM| + |MB| > |AB|$, отсюда $2 \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$, или $4 \left ( 1 - \frac{a^{2}}{4} \right ) > a^{2}; 4 – a^{2} > a^{2}; 2a^{2} < 4; a < \sqrt{2}$.
Это условие и достаточно, что можно показать, построив тетраэдр, удовлетворяющий указанным условиям. Можно, например, построить 4 треугольника со сторонами 1,1 и $a < \sqrt{2}$. Соединить их так, как указано на рисунке. Получим тетраэдр с ребрами $|CD| = |AB| = a, |AC| = |AD| = |CB| = |BD| = 1$.
Таким образом, при $k=2$ необходимым и достаточным условием существования тетраэдра будет $0 < a < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
3) $k=3$. Могут быть три случая взаимного расположения ребер.
а) Ребра длины $a$ имеют общую вершину. $|AC| = |AB| = |AD| = a; |BC| = |BD| = |CD| = 1$. Тогда должно быть $|AC| > |CO|$, где $O$ - центр треугольника $BCD$ (рис.). Это условие, очевидно, необходимо и достаточно:
$|CO| = R = \frac{1}{\sqrt{3}}, a > R, a > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
б) Ребра длины $a$ образуют треугольник. Пусть $|BC| = |BD| = |CD| = a; |AC| = |AB| = |AD| = 1$ (рис.).
Аналогично предыдущему случаю получаем, что
$|CO| < |AC|; |CO| = R; a=R \sqrt{3}$;
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} ; R <1$;
$\frac{a}{\sqrt{3}} < 1; a \sqrt{3}$.
Случай в), когда $|AB| = |CD| = |BC| = a; |AC| = |AD| = |DB| = 1$, рассматривать не нужно, так как необходимые и достаточные условия на число $a$ в случаях а) и б) уже покрывают всю положительную полуось $\left ( a > \frac{1}{\sqrt{3}}; a < \sqrt{3} \right )$. Поэтому для $k=3$ искомый тетраэдр существует при любом $a > 0$.
4) $k=4$ и $k=5$ легко сводятся к $k=2$ и $k=1$.
Действительно, при $k=4$ уменьшим все ребра тетраэдра в $a$ раз, получим 4 ребра длины 1 и два ребра длины $\frac{1}{a}$. Обозначим $\frac{1}{a} = b$, тогда, учитывая случай 2), необходимое и достаточное условие запишется так:
$0 < b < \sqrt{2+ \sqrt{3}}$, т.е. $0 < \frac{1}{a} < \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
Отсюда $a > \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ или $a > \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
При $k=5$, выполнив те же преобразования, получим 5 ребер длины 1 и одно длины $b = \frac{1}{a}$.
Исходя из случая (1), получим $b < \sqrt{3}$, отсюда $\frac{1}{a} < \sqrt{3}$ или $a > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
