Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1050
2015-02-17 
Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите, что существует правильный тетраэдр с вершинами на каждой из этих плоскостей.
Решение:
Сформулируем сначала следующее утверждение.
Лемма. Пусть в некоторой плоскости даны 3 различные параллельные прямые. Тогда можно построить правильный треугольник, такой, что на каждой из данных прямых лежит по
одной из вершин этого треугольника.
Предоставим доказательство леммы читателю.
Для дальнейшего заметим, что длина стороны построенного в лемме правильного треугольника не зависит от способа построения и однозначно определяется величинами расстояний между рассматриваемыми прямыми. Приступим теперь непосредственно к решению задачи.
Пусть $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ - данные параллельные плоскости, причем, не ограничивая общности, будем считать, что плоскости $ P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ расположены по одну сторону от плоскости $P_{0}$ и расстояния от них до плоскости $P_{0}$ равны соответственно $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, 0 < \rho_{1} < \rho_{2} < \rho_{3}$.
Рассмотрим произвольную плоскость, перпендикуляр к которой образует угол $\alpha (\alpha \neq 0)$ с перпендикуляром к плоскости $P_{0}$. Обозначим эту плоскость через $Q_{\alpha}$. Она пересечет плоскости $ P_{0}, P_{1}, P_{2}$ по параллельным прямым $l_{0}^{\alpha}, l_{1}^{\alpha}, l_{2}^{\alpha}$, к которым применима лемма. Отметим, что расстояния от прямой $l_{0}^{\alpha}$ до прямых $l_{1}^{\alpha}$ и $l_{2}^{\alpha}$ равны соответственно $\frac{\rho_{1}}{ \sin \alpha}$ и $\frac{\rho_{2}}{\sin \alpha}$. Обозначим построенный по лемме правильный треугольник через $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$, где $A_{\alpha} \in P_{0}, B_{\alpha} \in P_{1}, C_{\alpha \in P_{2}}$, а длину его стороны обозначим через $a_{\alpha}$. Произведем теперь гомотетию плоскости $Q_{\alpha}$ с центром в точке $A_{\alpha}$ и с коэффициентом $k = \sin \alpha$. Получим правильный треугольник, длина стороны которого равна $a_{\alpha \sin \alpha}$, с вершинами на трех параллельных прямых, две из которых отстоят от третьей на расстояния $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Длина стороны полученного треугольника однозначно определяется величинами $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, ее нетрудно выразить явно через $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Но для наших целей достаточно заметить, что эта длина есть величина постоянная при фиксированном положении рассматриваемых параллельных плоскостей. Обозначим эту величину через $a$. Итак, $a_{\alpha} \sin \alpha = a$, или
$a_{\alpha} = \frac{a}{ \sin \alpha}$.
Вычислим теперь, на каком расстоянии от плоскости $P_{0}$ находится центр $O_{\alpha}$ треугольника $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$. Пусть $E_{\alpha}$ — середина стороны $B_{\alpha}C_{\alpha}$. Рассматривая плоскость, проходящую через прямую $B_{\alpha}C_{\alpha}$ и перпендикулярную к плоскости $P_{0}$, замечаем, что расстояние от точки $E_{\alpha}$ до плоскости $P_{0}$ равно $\frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{2}$. Затем, проведя перпендикулярную к $P_{0}$ плоскость через прямую $A_{\alpha}E_{\alpha}$ и учитывая, что $A_{\alpha}O_{\alpha} = \frac{2}{3} A_{\alpha}E_{\alpha}$, обнаружим, что расстояние от точки $O_{\alpha}$ до плоскости $P_{0}$ равно $\frac{2}{3} \cdot \frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{2} = \frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{3}$, т.е не зависит от угла $\alpha$. Итак, центры всевозможных правильных треугольников с вершинами на плоскостях $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ лежат в одной и той же плоскости $S$, отстоящей на фиксированном расстоянии от плоскости $P_{0}$, а значит, и от плоскости $P_{3}$. Обозначим расстояние от плоскости $S$ до плоскости $P_{3}$ через $h$.
Построим теперь правильный тетраэдр $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}D_{\alpha}$, основанием которого является рассматриваемый треугольник $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$, причем из двух возможных положений вершины $D_{\alpha}$ возьмем более удаленное от плоскости $P_{0}$. Высота $D_{\alpha}O_{\alpha}$ построенного тетраэдра, как легко проверить, равна $\sqrt{\frac{2}{3}} a_{\alpha}$.
Проведем перпендикулярно к $P_{0}$ плоскость через отрезок $D_{\alpha}O_{\alpha}$. Из рассмотрения чертежа в этой плоскости (рис.), где прямые $p_{0},p_{1},p_{2}, p_{3}$ и $s$ есть линии пересечения этой плоскости с плоскостями $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ и $S$, обнаруживаем, что точка $D_{\alpha}$ отстоит от плоскости $S$ на расстоянии, равном
$\sqrt{\frac{2}{3}} \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} a \cdot ctg \alpha$.
Для того чтобы вершина $D_{\alpha}$ тетраэдра $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}D_{\alpha}$ лежала на плоскости $P_{3}$, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы найденное расстояние равнялось $h$, т. е. чтобы $ctg \alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{h}{a}$.
Поскольку такой угол $\alpha$, при котором выполнено последнее равенство, очевидно, существует, то этим устанавливается существование искомого тетраэдра. Более того, эта формула позволяет осуществить конкретное построение такого тетраэдра, если задано положение четырех параллельных плоскостей.
Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите, что существует правильный тетраэдр с вершинами на каждой из этих плоскостей.
Решение:
Сформулируем сначала следующее утверждение.
Лемма. Пусть в некоторой плоскости даны 3 различные параллельные прямые. Тогда можно построить правильный треугольник, такой, что на каждой из данных прямых лежит по
одной из вершин этого треугольника.
Предоставим доказательство леммы читателю.
Для дальнейшего заметим, что длина стороны построенного в лемме правильного треугольника не зависит от способа построения и однозначно определяется величинами расстояний между рассматриваемыми прямыми. Приступим теперь непосредственно к решению задачи.
Пусть $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ - данные параллельные плоскости, причем, не ограничивая общности, будем считать, что плоскости $ P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ расположены по одну сторону от плоскости $P_{0}$ и расстояния от них до плоскости $P_{0}$ равны соответственно $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, 0 < \rho_{1} < \rho_{2} < \rho_{3}$.
Рассмотрим произвольную плоскость, перпендикуляр к которой образует угол $\alpha (\alpha \neq 0)$ с перпендикуляром к плоскости $P_{0}$. Обозначим эту плоскость через $Q_{\alpha}$. Она пересечет плоскости $ P_{0}, P_{1}, P_{2}$ по параллельным прямым $l_{0}^{\alpha}, l_{1}^{\alpha}, l_{2}^{\alpha}$, к которым применима лемма. Отметим, что расстояния от прямой $l_{0}^{\alpha}$ до прямых $l_{1}^{\alpha}$ и $l_{2}^{\alpha}$ равны соответственно $\frac{\rho_{1}}{ \sin \alpha}$ и $\frac{\rho_{2}}{\sin \alpha}$. Обозначим построенный по лемме правильный треугольник через $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$, где $A_{\alpha} \in P_{0}, B_{\alpha} \in P_{1}, C_{\alpha \in P_{2}}$, а длину его стороны обозначим через $a_{\alpha}$. Произведем теперь гомотетию плоскости $Q_{\alpha}$ с центром в точке $A_{\alpha}$ и с коэффициентом $k = \sin \alpha$. Получим правильный треугольник, длина стороны которого равна $a_{\alpha \sin \alpha}$, с вершинами на трех параллельных прямых, две из которых отстоят от третьей на расстояния $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Длина стороны полученного треугольника однозначно определяется величинами $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, ее нетрудно выразить явно через $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Но для наших целей достаточно заметить, что эта длина есть величина постоянная при фиксированном положении рассматриваемых параллельных плоскостей. Обозначим эту величину через $a$. Итак, $a_{\alpha} \sin \alpha = a$, или
$a_{\alpha} = \frac{a}{ \sin \alpha}$.
Вычислим теперь, на каком расстоянии от плоскости $P_{0}$ находится центр $O_{\alpha}$ треугольника $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$. Пусть $E_{\alpha}$ — середина стороны $B_{\alpha}C_{\alpha}$. Рассматривая плоскость, проходящую через прямую $B_{\alpha}C_{\alpha}$ и перпендикулярную к плоскости $P_{0}$, замечаем, что расстояние от точки $E_{\alpha}$ до плоскости $P_{0}$ равно $\frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{2}$. Затем, проведя перпендикулярную к $P_{0}$ плоскость через прямую $A_{\alpha}E_{\alpha}$ и учитывая, что $A_{\alpha}O_{\alpha} = \frac{2}{3} A_{\alpha}E_{\alpha}$, обнаружим, что расстояние от точки $O_{\alpha}$ до плоскости $P_{0}$ равно $\frac{2}{3} \cdot \frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{2} = \frac{\rho_{1} + \rho_{2}}{3}$, т.е не зависит от угла $\alpha$. Итак, центры всевозможных правильных треугольников с вершинами на плоскостях $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ лежат в одной и той же плоскости $S$, отстоящей на фиксированном расстоянии от плоскости $P_{0}$, а значит, и от плоскости $P_{3}$. Обозначим расстояние от плоскости $S$ до плоскости $P_{3}$ через $h$.
Построим теперь правильный тетраэдр $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}D_{\alpha}$, основанием которого является рассматриваемый треугольник $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}$, причем из двух возможных положений вершины $D_{\alpha}$ возьмем более удаленное от плоскости $P_{0}$. Высота $D_{\alpha}O_{\alpha}$ построенного тетраэдра, как легко проверить, равна $\sqrt{\frac{2}{3}} a_{\alpha}$.
Проведем перпендикулярно к $P_{0}$ плоскость через отрезок $D_{\alpha}O_{\alpha}$. Из рассмотрения чертежа в этой плоскости (рис.), где прямые $p_{0},p_{1},p_{2}, p_{3}$ и $s$ есть линии пересечения этой плоскости с плоскостями $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$ и $S$, обнаруживаем, что точка $D_{\alpha}$ отстоит от плоскости $S$ на расстоянии, равном
$\sqrt{\frac{2}{3}} \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} a \cdot ctg \alpha$.
Для того чтобы вершина $D_{\alpha}$ тетраэдра $A_{\alpha}B_{\alpha}C_{\alpha}D_{\alpha}$ лежала на плоскости $P_{3}$, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы найденное расстояние равнялось $h$, т. е. чтобы $ctg \alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{h}{a}$.
Поскольку такой угол $\alpha$, при котором выполнено последнее равенство, очевидно, существует, то этим устанавливается существование искомого тетраэдра. Более того, эта формула позволяет осуществить конкретное построение такого тетраэдра, если задано положение четырех параллельных плоскостей.
