Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1097
2015-03-10 
При каком расположении двух бесконечных прямых круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е. будет целиком лежать в одной плоскости)?
Решение:
Спроектируем ортогонально оба цилиндра на общий перпендикуляр $p$ к их осям $l_{1}$ и $l_{2}$. Каждый цилиндр при этом спроектируется в отрезок длины, равной диаметру цилиндра. Возможны три случая.
1°. Отрезки не пересекаются.
2°. Отрезки имеют единственную общую точку.
З°. Пересечение отрезков есть отрезок.
В первом случае поверхности не пересекаются вовсе, даже их проекции не пересекаются. Во втором случае проведем через единственную общую точку плоскость, перпендикулярную к $p$. Нетрудно видеть, что она будет касательной к обоим цилиндрам и иметь с каждым общую прямую. Когда оси цилиндров параллельны, эти прямые совпадают. Следовательно, здесь линия пересечения плоская. Если же оси цилиндров непараллельны, то касательные образующие пересекаются и точка их пересечения — единственная общая точка обоих цилиндров. Можно не считать ее «линией пересечения», но безусловно течка может считаться «плоской».
Рассмотрим третий случай. Предположим сперва, что оси цилиндров непараллельны. Проведем через произвольную общую точку проекций плоскость $Q$, перпендикулярную к $p$. Она пересечет каждый цилиндр по паре параллельных образующих параллельных соответствующей оси. Эти четыре прямые пересекаются попарно в четырех точках, лежащих на линии пересечения обоих цилиндров. Очевидно, эти четыре точки не лежат все одновременно на одной прямой. Поэтому если линия пересечения целиком лежит в некоторой плоскости, то это может быть только $Q$. Так как эти рассуждения можно повторить для другой любой плоскости $Q_{1}$, также пересекающей общий отрезок перпендикулярно к $p$, то в этом случае линия пересечения не может быть плоской. Если же оси цилиндров параллельны, то параллельны и все четыре прямые в плоскости $Q$, так что предыдущие рассуждения теряют силу. Проведем плоскость $R$ перпендикулярно осям цилиндров. Она пересечет цилиндры по двум окружностям, которые в силу сделанного предположения пересекаются. Очевидно, сами цилиндры пересекаются по двум образующим, проходящим через точки пересечения окружностей параллельно осям. Пара параллельных прямых также лежит в одной плоскости.
Окончательно, два цилиндра пересекаются по плоской линии тогда и только тогда, когда их оси параллельны. При этом линия не вырождается в точку или пустое множество, если:
$\begin{cases}
d \leq r_{1} +r_{2} & \\
r_{1} \leq d + r_{2} & \\
r_{2} \leq r_{1} +d, \end{cases}$
где $d$ — расстояние между осями, а $r_{i}$ — радиусы цилиндров.
При каком расположении двух бесконечных прямых круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е. будет целиком лежать в одной плоскости)?
Решение:
Спроектируем ортогонально оба цилиндра на общий перпендикуляр $p$ к их осям $l_{1}$ и $l_{2}$. Каждый цилиндр при этом спроектируется в отрезок длины, равной диаметру цилиндра. Возможны три случая.
1°. Отрезки не пересекаются.
2°. Отрезки имеют единственную общую точку.
З°. Пересечение отрезков есть отрезок.
В первом случае поверхности не пересекаются вовсе, даже их проекции не пересекаются. Во втором случае проведем через единственную общую точку плоскость, перпендикулярную к $p$. Нетрудно видеть, что она будет касательной к обоим цилиндрам и иметь с каждым общую прямую. Когда оси цилиндров параллельны, эти прямые совпадают. Следовательно, здесь линия пересечения плоская. Если же оси цилиндров непараллельны, то касательные образующие пересекаются и точка их пересечения — единственная общая точка обоих цилиндров. Можно не считать ее «линией пересечения», но безусловно течка может считаться «плоской».
Рассмотрим третий случай. Предположим сперва, что оси цилиндров непараллельны. Проведем через произвольную общую точку проекций плоскость $Q$, перпендикулярную к $p$. Она пересечет каждый цилиндр по паре параллельных образующих параллельных соответствующей оси. Эти четыре прямые пересекаются попарно в четырех точках, лежащих на линии пересечения обоих цилиндров. Очевидно, эти четыре точки не лежат все одновременно на одной прямой. Поэтому если линия пересечения целиком лежит в некоторой плоскости, то это может быть только $Q$. Так как эти рассуждения можно повторить для другой любой плоскости $Q_{1}$, также пересекающей общий отрезок перпендикулярно к $p$, то в этом случае линия пересечения не может быть плоской. Если же оси цилиндров параллельны, то параллельны и все четыре прямые в плоскости $Q$, так что предыдущие рассуждения теряют силу. Проведем плоскость $R$ перпендикулярно осям цилиндров. Она пересечет цилиндры по двум окружностям, которые в силу сделанного предположения пересекаются. Очевидно, сами цилиндры пересекаются по двум образующим, проходящим через точки пересечения окружностей параллельно осям. Пара параллельных прямых также лежит в одной плоскости.
Окончательно, два цилиндра пересекаются по плоской линии тогда и только тогда, когда их оси параллельны. При этом линия не вырождается в точку или пустое множество, если:
$\begin{cases}
d \leq r_{1} +r_{2} & \\
r_{1} \leq d + r_{2} & \\
r_{2} \leq r_{1} +d, \end{cases}$
где $d$ — расстояние между осями, а $r_{i}$ — радиусы цилиндров.
