Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1067
2015-02-22 
Тетраэдр $SABC$ обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер $SA$; $SB$; $SC$; $AB$; $BC$; $CA$ или их продолжений.
Докажите: а) что тетраэдр $SABC$ правильный; б) что, обратно, для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных сфер.
Решение:
Пусть сфера $\Gamma$ касается всех прямых, на которых лежат ребра тетраэдра $SABC$. Тогда $\Gamma$ пересекает каждую грань тетраэдра по вписанной или вневписанной в соответствующий треугольник окружности. При этом окружности, лежащие в гранях, смежных поданному ребру, имеют общую точку, в которой прямая, содержащая данное ребро, касается сферы. Другими словами, в двух гранях, смежных по данному ребру, точка касания окружностей с этим ребром или его продолжением — общая.
Возможны два случая:
1. Точки касания сферы лежат внутри каждого ребра. В этом случае все окружности касаются самих сторон треугольников, т. е. являются вписанными.
Касательная сфера $\Gamma$ (рис.) должна проходить через точки $P, Q, R$ касания вписанной в $\triangle ABC$ окружности с соответствующими сторонами $BC, CA, AB$, а также через точку $K$ касания со стороной $SA$ окружности, вписанной в $\triangle SAB$. Очевидно, точки $P, Q, R$ не лежат на одной прямой, и точка $K$ не лежит в плоскости $PQR$. Через четыре точки $K, P, Q, R$, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну. Поэтому, если существует сфера первого типа, то только одна.
2. Хотя бы одна точка касания сферы лежит вне ребра. Для определенности будем считать, что это ребро $SA$ и что точка касания $K_{1}$ лежит за точкой $A$ (т. е. $A$ лежит между $S$ и $K_{1}$). Тогда окружность $O_{1}$, касающаяся прямых $SA, SB$ и $AB$ — вневписанная и лежит по другую сторону прямой $AB$, чем вершина $S$. Поэтому $O_{1}$ касается самого ребра $AB$ в некоторой точке $R$ и продолжения ребра $SB$ в точке $L_{1}$, за вершиной $B$ (считая от $S$). По тем же соображениям окружность $O_{3}$ в плоскости $SCA$, касаясь прямой $SA$ в точке $K_{1}$, касается самого ребра $CA$ (находясь от него по другую сторону, чем $S$) в некоторой точке $Q$ и продолжения ребра $SC$ в точке $M_{1}$ за вершиной $C$(считая от $S$). Наконец, окружность $O_{2}$ в плоскости $SBC$ касается прямых $SB$ и $SC$ в точках $L_{1}$ и $M_{1}$ и самого ребра $BC$ в некоторой точке $P$. Таким образом, наша сфера второго типа касается трех ребер грани $ABC$ и продолжений ребер $SA, SB$ и $SC$ и притом в точках, лежащих соответственно за $A, B$ и $C$ (считая от $S$).
Повторяя рассуждения п. 1, доказываем, что существует не более одной сферы второго типа, касающейся ребер данной грани $ABC$ и продолжений ребер, исходящих из противолежащей вершины $S$. Поэтому общее число сфер второго типа не превышает четырех.
Пусть существуют все пять сфер. Обозначим длины ребер тетраэдра $SABC$:
$|SA|=a, |SB| = b, |SC|=c, |BC| = a^{\prime}, |AC|=b^{\prime}, |AB| = c^{\prime}$.
Пусть $K, L, M, P, Q, R$ — точки касания сферы первого типа. Тогда $|SK| = |SL| = |SM|, |AK| = |AQ| = |AR|, |BL| = |BP| =|BR|, |CM| = |CP| = |CQ|$, а так как $|AK| + |KS| = |AS|, |BP| + |PC| = |BC|$ и т. д., то имеют место равенства
$a + a^{\prime} = b+b^{\prime} = c+c^{\prime}$. (1)
Рассмотрим сферу второго типа, соответствующую грани $ABC$. Тогда в тех же обозначениях имеем:
$|SK_{1}| - |AK_{1}| = |SA|; |BP| + |PC| = |BC|; |SL_{1}| - |BL_{1}| = |SB|; |AQ| + |QC| = |AC|; |SM_{1}| - |CM_{1}| = |SC|; |AR| + |RB| = |AB|$,
откуда
$a - a^{\prime} = b - b^{\prime} = c - c^{\prime}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
$a=b=c, a^{\prime}=b^{\prime}=c^{\prime}$.
Если рассмотрим также и сферу второго типа, соответствующую грани $SAB$, получим, что $c^{\prime}=a=b$.
Мы доказали, что тетраэдр правильный. Остается показать, что для правильного тетраэдра существует пять таких сфер.
Обозначим через $O$ центр правильного тетраэдра $SABC$. Сфера $\Gamma$ с центром в точке $O$, проходящая через середину одного ребра тетраэдра, будет проходить через середины остальных пяти ребер и касаться всех ребер тетраэдра. Подобным преобразованием с центром $S$ и коэффициентом 3 эта сфера переходит в сферу $\Gamma$, которая, как легко видеть, касается всех ребер тетраэдра и есть сфера второго типа.
Таким образом, можно построить сферу для каждой вершины тетраэдра.
В этой задаче многие участники доказывали только второе утверждение. В доказательстве первого утверждения исходили из того, что сферы уже нужным образом расположены.
Тетраэдр $SABC$ обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер $SA$; $SB$; $SC$; $AB$; $BC$; $CA$ или их продолжений.
Докажите: а) что тетраэдр $SABC$ правильный; б) что, обратно, для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных сфер.
Решение:
Пусть сфера $\Gamma$ касается всех прямых, на которых лежат ребра тетраэдра $SABC$. Тогда $\Gamma$ пересекает каждую грань тетраэдра по вписанной или вневписанной в соответствующий треугольник окружности. При этом окружности, лежащие в гранях, смежных поданному ребру, имеют общую точку, в которой прямая, содержащая данное ребро, касается сферы. Другими словами, в двух гранях, смежных по данному ребру, точка касания окружностей с этим ребром или его продолжением — общая.
Возможны два случая:
1. Точки касания сферы лежат внутри каждого ребра. В этом случае все окружности касаются самих сторон треугольников, т. е. являются вписанными.
Касательная сфера $\Gamma$ (рис.) должна проходить через точки $P, Q, R$ касания вписанной в $\triangle ABC$ окружности с соответствующими сторонами $BC, CA, AB$, а также через точку $K$ касания со стороной $SA$ окружности, вписанной в $\triangle SAB$. Очевидно, точки $P, Q, R$ не лежат на одной прямой, и точка $K$ не лежит в плоскости $PQR$. Через четыре точки $K, P, Q, R$, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну. Поэтому, если существует сфера первого типа, то только одна.
2. Хотя бы одна точка касания сферы лежит вне ребра. Для определенности будем считать, что это ребро $SA$ и что точка касания $K_{1}$ лежит за точкой $A$ (т. е. $A$ лежит между $S$ и $K_{1}$). Тогда окружность $O_{1}$, касающаяся прямых $SA, SB$ и $AB$ — вневписанная и лежит по другую сторону прямой $AB$, чем вершина $S$. Поэтому $O_{1}$ касается самого ребра $AB$ в некоторой точке $R$ и продолжения ребра $SB$ в точке $L_{1}$, за вершиной $B$ (считая от $S$). По тем же соображениям окружность $O_{3}$ в плоскости $SCA$, касаясь прямой $SA$ в точке $K_{1}$, касается самого ребра $CA$ (находясь от него по другую сторону, чем $S$) в некоторой точке $Q$ и продолжения ребра $SC$ в точке $M_{1}$ за вершиной $C$(считая от $S$). Наконец, окружность $O_{2}$ в плоскости $SBC$ касается прямых $SB$ и $SC$ в точках $L_{1}$ и $M_{1}$ и самого ребра $BC$ в некоторой точке $P$. Таким образом, наша сфера второго типа касается трех ребер грани $ABC$ и продолжений ребер $SA, SB$ и $SC$ и притом в точках, лежащих соответственно за $A, B$ и $C$ (считая от $S$).
Повторяя рассуждения п. 1, доказываем, что существует не более одной сферы второго типа, касающейся ребер данной грани $ABC$ и продолжений ребер, исходящих из противолежащей вершины $S$. Поэтому общее число сфер второго типа не превышает четырех.
Пусть существуют все пять сфер. Обозначим длины ребер тетраэдра $SABC$:
$|SA|=a, |SB| = b, |SC|=c, |BC| = a^{\prime}, |AC|=b^{\prime}, |AB| = c^{\prime}$.
Пусть $K, L, M, P, Q, R$ — точки касания сферы первого типа. Тогда $|SK| = |SL| = |SM|, |AK| = |AQ| = |AR|, |BL| = |BP| =|BR|, |CM| = |CP| = |CQ|$, а так как $|AK| + |KS| = |AS|, |BP| + |PC| = |BC|$ и т. д., то имеют место равенства
$a + a^{\prime} = b+b^{\prime} = c+c^{\prime}$. (1)
Рассмотрим сферу второго типа, соответствующую грани $ABC$. Тогда в тех же обозначениях имеем:
$|SK_{1}| - |AK_{1}| = |SA|; |BP| + |PC| = |BC|; |SL_{1}| - |BL_{1}| = |SB|; |AQ| + |QC| = |AC|; |SM_{1}| - |CM_{1}| = |SC|; |AR| + |RB| = |AB|$,
откуда
$a - a^{\prime} = b - b^{\prime} = c - c^{\prime}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
$a=b=c, a^{\prime}=b^{\prime}=c^{\prime}$.
Если рассмотрим также и сферу второго типа, соответствующую грани $SAB$, получим, что $c^{\prime}=a=b$.
Мы доказали, что тетраэдр правильный. Остается показать, что для правильного тетраэдра существует пять таких сфер.
Обозначим через $O$ центр правильного тетраэдра $SABC$. Сфера $\Gamma$ с центром в точке $O$, проходящая через середину одного ребра тетраэдра, будет проходить через середины остальных пяти ребер и касаться всех ребер тетраэдра. Подобным преобразованием с центром $S$ и коэффициентом 3 эта сфера переходит в сферу $\Gamma$, которая, как легко видеть, касается всех ребер тетраэдра и есть сфера второго типа.
Таким образом, можно построить сферу для каждой вершины тетраэдра.
В этой задаче многие участники доказывали только второе утверждение. В доказательстве первого утверждения исходили из того, что сферы уже нужным образом расположены.
