Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1111
2015-03-14 
Докажите, что объем $V$ и боковая поверхность $S$ любого прямого кругового конуса удовлетворяют неравенству
$\left ( \frac{6V}{\pi} \right )^{2} \leq \left ( \frac{2S}{\pi \sqrt{3}} \right )^{3}$,
когда возможно равенство?
Решение:
Обозначим через $x$ и $y$ соответственно радиус основания и образующую конуса. Тогда $V=\frac{1}{3} \pi x^{2} \sqrt{y^{2}-x^{2}}$ и $S = \pi xy$. Подставляя значения $V$ и $S$ в исходное неравенство, получим:
$4 \left ( x^{4}y^{2} – x^{6} \right ) \leq \frac{8}{(\sqrt{3})^{3}} x^{3}y^{3}$
или, деля обе части неравенства на положительное число $4x^{3}y^{3}$, получим:
$\frac{x}{y} - \left ( \frac{x}{y} \right )^{3} \leq \frac{2}{(\sqrt{3})^{3}}$,
или
$\left ( \frac{x}{y} \right )^{3} - \frac{x}{y} + \frac{3}{(\sqrt{3})^{3}} - \frac{1}{(\sqrt{3})^{3}} \geq 0$. (1)
Так как $\frac{x}{y} < 1$, то можем обозначить $\frac{x}{y} = \cos \phi$, где $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ — угол между образующей и радиусом основания конуса, и неравенство (1) перепишется:
$\cos^{3} \phi - \frac{1}{(\sqrt{3})^{3}} - \cos \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \geq 0$,
или
$\left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \left ( \cos^{2} \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \phi - \frac{2}{3} \right ) \geq 0$.
Но
$\cos^{2} \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \phi - \frac{2}{3} = \left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \left ( \cos \phi + \frac{2}{\sqrt{3}} \right )$.
Поэтому получим:
$\left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2} \left ( \cos \phi + \frac{2}{\sqrt{3}} \right ) \geq 0$. (2)
В неравенстве (2) первый сомножитель всегда неотрицательный, а второй — при $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ — всегда положительный. Производя все действия в обратном порядке, получим исходное неравенство. Равенство в (2) достигается при $\cos \phi = \frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Докажите, что объем $V$ и боковая поверхность $S$ любого прямого кругового конуса удовлетворяют неравенству
$\left ( \frac{6V}{\pi} \right )^{2} \leq \left ( \frac{2S}{\pi \sqrt{3}} \right )^{3}$,
когда возможно равенство?
Решение:
Обозначим через $x$ и $y$ соответственно радиус основания и образующую конуса. Тогда $V=\frac{1}{3} \pi x^{2} \sqrt{y^{2}-x^{2}}$ и $S = \pi xy$. Подставляя значения $V$ и $S$ в исходное неравенство, получим:
$4 \left ( x^{4}y^{2} – x^{6} \right ) \leq \frac{8}{(\sqrt{3})^{3}} x^{3}y^{3}$
или, деля обе части неравенства на положительное число $4x^{3}y^{3}$, получим:
$\frac{x}{y} - \left ( \frac{x}{y} \right )^{3} \leq \frac{2}{(\sqrt{3})^{3}}$,
или
$\left ( \frac{x}{y} \right )^{3} - \frac{x}{y} + \frac{3}{(\sqrt{3})^{3}} - \frac{1}{(\sqrt{3})^{3}} \geq 0$. (1)
Так как $\frac{x}{y} < 1$, то можем обозначить $\frac{x}{y} = \cos \phi$, где $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ — угол между образующей и радиусом основания конуса, и неравенство (1) перепишется:
$\cos^{3} \phi - \frac{1}{(\sqrt{3})^{3}} - \cos \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \geq 0$,
или
$\left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \left ( \cos^{2} \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \phi - \frac{2}{3} \right ) \geq 0$.
Но
$\cos^{2} \phi + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \phi - \frac{2}{3} = \left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \left ( \cos \phi + \frac{2}{\sqrt{3}} \right )$.
Поэтому получим:
$\left ( \cos \phi - \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2} \left ( \cos \phi + \frac{2}{\sqrt{3}} \right ) \geq 0$. (2)
В неравенстве (2) первый сомножитель всегда неотрицательный, а второй — при $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ — всегда положительный. Производя все действия в обратном порядке, получим исходное неравенство. Равенство в (2) достигается при $\cos \phi = \frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
