Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1052
2015-02-17 
Выясните, существует ли конечное множество $M$ точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек $A, B$, принадлежащих $M$, найдутся две другие точки $C,D$, принадлежащие $M$, такие, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны и не совпадают.
Решение:
Заметим сначала, что если ограничиться множествами, лежащими в одной плоскости, то нужными свойствами будет обладать, например, множество вершин правильного пятиугольника или шестиугольника.
Используем последнее множество для построения искомого примера в пространстве. А именно возьмем множество вершин двух правильных шестиугольников, имеющих общий центр, но лежащих в разных плоскостях. Покажем, что это множества обладает требуемыми свойствами. Если точки $A$ и $B$ являются вершинами одного и того же шестиугольника, то точки $C$ и $D$, как отмечалось выше, найдутся среди других вершин того же шестиугольника. Пусть теперь $A$ и $B$ принадлежат разным шестиугольникам. Воспользуемся тем, что правильный шестиугольник является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра, и возьмем в качестве точек $C$ и $D$ вершины, центрально-симметричные соответственно точкам $A$ и $B$.
Легко убедиться, что при этом прямая $CD$ будет параллельна прямой $AB$.
Итак, множество с описанными в задаче свойствами существует.
Выясните, существует ли конечное множество $M$ точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек $A, B$, принадлежащих $M$, найдутся две другие точки $C,D$, принадлежащие $M$, такие, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны и не совпадают.
Решение:
Заметим сначала, что если ограничиться множествами, лежащими в одной плоскости, то нужными свойствами будет обладать, например, множество вершин правильного пятиугольника или шестиугольника.
Используем последнее множество для построения искомого примера в пространстве. А именно возьмем множество вершин двух правильных шестиугольников, имеющих общий центр, но лежащих в разных плоскостях. Покажем, что это множества обладает требуемыми свойствами. Если точки $A$ и $B$ являются вершинами одного и того же шестиугольника, то точки $C$ и $D$, как отмечалось выше, найдутся среди других вершин того же шестиугольника. Пусть теперь $A$ и $B$ принадлежат разным шестиугольникам. Воспользуемся тем, что правильный шестиугольник является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра, и возьмем в качестве точек $C$ и $D$ вершины, центрально-симметричные соответственно точкам $A$ и $B$.
Легко убедиться, что при этом прямая $CD$ будет параллельна прямой $AB$.
Итак, множество с описанными в задаче свойствами существует.
