Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1110
2015-03-14 
Даны три конгруэнтных прямоугольника. Их центры совпадают, а плоскости взаимно перпендикулярны. Каждая прямая по которой пересекаются плоскости двух прямоугольников, содержит по одной из средних линий этих двух прямоугольников, причем длина этих линий различна. Рассмотрим выпуклый многогранник, вершины которого совпадают с вершинами прямоугольников.
а) Определите объем этого многогранника.
б) Может ли многогранник оказаться правильным и если может, то каково условие этого?
Решение:
Легко видеть, что выпуклое тело, о котором идет речь, может быть лишь таким, каким оно изображено на рисунке 65. Плоскости данных конгруэнтных прямоугольников будем рассматривать как координатные плоскости, стороны прямоугольников обозначим через $2a$ и $2b$, причем $a \geq b$.
а) Из симметрии тела следует, что объем той части тела, которая находится в первой (положительной) части пространства, равен $\frac{1}{8}$ части объема всего тела. Но
$V_{OABCDEF} = V_{OBDF} + V_{FABO} + V_{BCDO} + V_{DEFO}$.
Тело $OBDF$ является правильной треугольной пирамидой, ребра при основании которой
$|BD| = |DF| = |FB| = \sqrt{2(a^{2} – ab + b^{2})}$,
а боковые ребра
$|OB| = |OD| = |OF| = \sqrt{a^{2} – b^{2}}$.
Легко подсчитать, что ее объем
$V_{1} = \frac{1}{6} (a^{3} + b^{3})$.
Нетрудно подсчитать, что объем треугольной пирамиды $FABO$
$V_{2} = \frac{1}{6}a^{2}b$.
Аналогичный результат получается для объемов треугольных пирамид $BCDO$ и $DEFO$. Таким образом, объем всего тела
$V = 8(V_{1}+3V_{2}) = \frac{4}{3}(a^{3} + 3a^{2}b + b^{3})$.
б) Необходимое и достаточное условие правильности тела, о котором идет речь, состоит в том, чтобы длины его ребер были одинаковыми, т. е., например, $|BD| = |BB^{\prime}|$ иначе говоря:
$\sqrt{2(a^{2}-ab+b^{2})} = 2b$,
откуда получаем:
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1)$.
Это означает, что более короткая сторона прямоугольников должна равняться более длинному из отрезков, на которые разбивается более длинная сторона прямоугольников золотым сечением.
Замечание. Если $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$, $a = \frac{b}{2}(\sqrt{5} + 1)$.
Если подставить этот результат в полученную выше формулу для $V$, то получим следующий результат:
$V^{\prime} = \frac{10}{3} (3 + \sqrt{5})b^{3}$.
Это равно объему правильного икосаэдра, длина ребер которого равна $2b$.
Даны три конгруэнтных прямоугольника. Их центры совпадают, а плоскости взаимно перпендикулярны. Каждая прямая по которой пересекаются плоскости двух прямоугольников, содержит по одной из средних линий этих двух прямоугольников, причем длина этих линий различна. Рассмотрим выпуклый многогранник, вершины которого совпадают с вершинами прямоугольников.
а) Определите объем этого многогранника.
б) Может ли многогранник оказаться правильным и если может, то каково условие этого?
Решение:
Легко видеть, что выпуклое тело, о котором идет речь, может быть лишь таким, каким оно изображено на рисунке 65. Плоскости данных конгруэнтных прямоугольников будем рассматривать как координатные плоскости, стороны прямоугольников обозначим через $2a$ и $2b$, причем $a \geq b$.
а) Из симметрии тела следует, что объем той части тела, которая находится в первой (положительной) части пространства, равен $\frac{1}{8}$ части объема всего тела. Но
$V_{OABCDEF} = V_{OBDF} + V_{FABO} + V_{BCDO} + V_{DEFO}$.
Тело $OBDF$ является правильной треугольной пирамидой, ребра при основании которой
$|BD| = |DF| = |FB| = \sqrt{2(a^{2} – ab + b^{2})}$,
а боковые ребра
$|OB| = |OD| = |OF| = \sqrt{a^{2} – b^{2}}$.
Легко подсчитать, что ее объем
$V_{1} = \frac{1}{6} (a^{3} + b^{3})$.
Нетрудно подсчитать, что объем треугольной пирамиды $FABO$
$V_{2} = \frac{1}{6}a^{2}b$.
Аналогичный результат получается для объемов треугольных пирамид $BCDO$ и $DEFO$. Таким образом, объем всего тела
$V = 8(V_{1}+3V_{2}) = \frac{4}{3}(a^{3} + 3a^{2}b + b^{3})$.
б) Необходимое и достаточное условие правильности тела, о котором идет речь, состоит в том, чтобы длины его ребер были одинаковыми, т. е., например, $|BD| = |BB^{\prime}|$ иначе говоря:
$\sqrt{2(a^{2}-ab+b^{2})} = 2b$,
откуда получаем:
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1)$.
Это означает, что более короткая сторона прямоугольников должна равняться более длинному из отрезков, на которые разбивается более длинная сторона прямоугольников золотым сечением.
Замечание. Если $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$, $a = \frac{b}{2}(\sqrt{5} + 1)$.
Если подставить этот результат в полученную выше формулу для $V$, то получим следующий результат:
$V^{\prime} = \frac{10}{3} (3 + \sqrt{5})b^{3}$.
Это равно объему правильного икосаэдра, длина ребер которого равна $2b$.
