Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1063
2015-02-22 
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - соответственно верхнее и нижнее основания и $AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime} \parallel DD^{\prime}$. Точка $X$ движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата $ABCD$ в направлении $ABCDA$, и точка $Y$ движется с той же скоростью по сторонам квадрата $B^{\prime}C^{\prime}CB$ в направлении $B^{\prime}C^{\prime}CBB^{\prime}$. Точка $X$ и $Y$ начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений $A$ и $B^{\prime}$ соответственно. Найдите и начертите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Решение:
Обозначим центр грани $ABB^{\prime}A^{\prime}$ через $O_{1}$ (рис.), центр $BB^{\prime}C^{\prime}C$ — через $O_{2}$, центр $ABCD$ — через $O_{3}$. Докажем, что геометрическое место точек $Z$ — середин отрезков $XY$ — есть ломаная $O_{1}O_{2}CO_{3}O_{1}$. Пусть $A$ — начало координат; $AB, AD, AA^{\prime}$ — соответственно оси $x, y, z; |AB| = |AD| = |AA^{\prime}| =1$. Разделим время, за которое точка $X$ проходит путь $ABCDA$, на четыре равные части и возьмем полученное время в качестве единицы измерения.
Известно, что если точка $K$ движется прямолинейно, равномерно, то зависимости ее координат от времени линейны, и, наоборот, если зависимости координат точки $K$ от времени линейны, то $K$ движется прямолинейно, равномерно.
Известно, что если $T$ — середина отрезка $OP, O = (x_{1};y_{2};z_{1}), P(x_{2};y_{2};z_{2})$, то $T = \left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}; \frac{y_{1}+y_{2}}{2}; \frac{z_{1}+z_{2}}{2} \right )$.
Составим, используя сформулированные утверждения, следующую таблицу зависимости координат точек $X,Y,Z$ от $t$.
При $t=0,1,2,3,4$, как легко видеть, $Z$ занимает положение $O_{1}; O_{2}; C; O_{3}; O_{1}$, а на отрезках между ними координаты $Z$ изменяются линейно, т. е. $Z$ вырисовывает в пространстве отрезки $O_{1}O_{2}; O_{2}C; CO_{3}; O_{3}O_{1}$, значит, $Z$ движется по ромбу $O_{1}O_{2}CO_{3}O_{1}$.
При других способах решения нужно было доказать обратное утверждение, а именно, если точка $M$ лежит на ломаной, то точка $M$ является серединой отрезка $XY$. Отсутствие доказательства этого утверждения было характерной ошибкой в решении этой задачи.
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - соответственно верхнее и нижнее основания и $AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime} \parallel DD^{\prime}$. Точка $X$ движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата $ABCD$ в направлении $ABCDA$, и точка $Y$ движется с той же скоростью по сторонам квадрата $B^{\prime}C^{\prime}CB$ в направлении $B^{\prime}C^{\prime}CBB^{\prime}$. Точка $X$ и $Y$ начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений $A$ и $B^{\prime}$ соответственно. Найдите и начертите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Решение:
Обозначим центр грани $ABB^{\prime}A^{\prime}$ через $O_{1}$ (рис.), центр $BB^{\prime}C^{\prime}C$ — через $O_{2}$, центр $ABCD$ — через $O_{3}$. Докажем, что геометрическое место точек $Z$ — середин отрезков $XY$ — есть ломаная $O_{1}O_{2}CO_{3}O_{1}$. Пусть $A$ — начало координат; $AB, AD, AA^{\prime}$ — соответственно оси $x, y, z; |AB| = |AD| = |AA^{\prime}| =1$. Разделим время, за которое точка $X$ проходит путь $ABCDA$, на четыре равные части и возьмем полученное время в качестве единицы измерения.
Известно, что если точка $K$ движется прямолинейно, равномерно, то зависимости ее координат от времени линейны, и, наоборот, если зависимости координат точки $K$ от времени линейны, то $K$ движется прямолинейно, равномерно.
Известно, что если $T$ — середина отрезка $OP, O = (x_{1};y_{2};z_{1}), P(x_{2};y_{2};z_{2})$, то $T = \left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}; \frac{y_{1}+y_{2}}{2}; \frac{z_{1}+z_{2}}{2} \right )$.
Составим, используя сформулированные утверждения, следующую таблицу зависимости координат точек $X,Y,Z$ от $t$.
| $0 \leq t \leq 1$ | $1 \leq t \leq 2$ | $2 \leq t \leq 3$ | $3 \leq t \leq 4$ | ||
| $X$ | x | $t$ | $1$ | $3-t$ | $0$ |
| y | $0$ | $t-1$ | $1$ | $4-t$ | |
| z | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | |
| $Y$ | x | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| y | $t$ | $1$ | $3-t$ | $0$ | |
| z | $1$ | $2-t$ | $0$ | $t-3$ | |
| $Z$ | x | $\frac{1+t}{2}$ | $1$ | $\frac{4-t}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| y | $\frac{t}{2}$ | $\frac{t}{2}$ | $\frac{4-t}{2}$ | $\frac{4-t}{2}$ | |
| z | $\frac{1}{2}$ | $\frac{2-t}{2}$ | $0$ | $\frac{t-3}{2}$ |
При $t=0,1,2,3,4$, как легко видеть, $Z$ занимает положение $O_{1}; O_{2}; C; O_{3}; O_{1}$, а на отрезках между ними координаты $Z$ изменяются линейно, т. е. $Z$ вырисовывает в пространстве отрезки $O_{1}O_{2}; O_{2}C; CO_{3}; O_{3}O_{1}$, значит, $Z$ движется по ромбу $O_{1}O_{2}CO_{3}O_{1}$.
При других способах решения нужно было доказать обратное утверждение, а именно, если точка $M$ лежит на ломаной, то точка $M$ является серединой отрезка $XY$. Отсутствие доказательства этого утверждения было характерной ошибкой в решении этой задачи.
