Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1069
2015-02-22 
Найдите в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку $A$, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком $BC$.
Решение:
Если вторая сторона прямого угла проходит через точку $B$ (или $C$), то, очевидно, геометрическим местом его вершин будет сфера $O_{1}$ (рис.) с диаметром $AB$ (соответственно сфера $O_{2}$ с диаметром $AC$). Нашей целью будет доказать, что искомым геометрическим местом точек будет множество тех точек, которые лежат внутри или на поверхности хоть одной из этих сфер, но не являются внутренними для обеих сфер сразу. Кратко это множество точек можно записать так: $(\bar{k_{1}} \bigcup \bar{k_{2}}) \backslash (k_{1} \bigcap k_{2})$, где $\bar{k_{i}}$ — множество точек, лежащих внутри или на сфере $O_{i}$, а $k_{i}$ — только внутри $O_{i}$.
Для доказательства проведем через точку $A$ произвольную прямую $l$ и спроектируем ортогонально на $l$ отрезок $BC$. Пусть проекцией $BC$ будет отрезок $B_{l}C_{l}$. Очевидно, точки отрезка $B_{l}C_{l}$ и только они будут точками искомого геометрического места, лежащими на прямой $l$. Когда прямая $l$ вращается вокруг точки $A$, то точки $B_{l}$ и $C_{l}$ описывают сферы $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно, ибо эти сферы являются геометрическим местом вершин прямых углов, проходящих через $A$ и $B$ и через $A$ и $C$. Совпадать с $A$ точки $B_{l}$ и $C_{l}$ будут, когда прямая $l$ касается соответствующей сферы. Во всех других положениях прямая $l$ пересекает $O_{1}$, и $O_{2}$ в точках $B_{l}$ и $C_{l}$, а также в точке $A$.
Прямая $l$ пересекает круг $\bar{k_{1}}$ по отрезку $AB$, а круг $\bar{k_{2}}$ по отрезку $AC_{l}$. Отрезок $B_{l}C_{l}$ есть объединение $AB_{l}$ и $AC_{l}$, если $A$ лежит между $B_{l}$ и $C_{l}$, и в противном случае разность $AB_{l}$ и $AC_{l}$. Легко видеть, что в обоих случаях отрезок $B_{l}C_{l}$ есть та часть прямой $l$, которая покрыта лишь одним из отрезков $AB_{l}, AC_{l}$ с прибавлением ее концов. На чертеже для разных случаев заштриховано сечение искомой области плоскостью $ABC$.
Частный случай, когда $A$ лежит на прямой $BC$, является предельным для общего. Само геометрическое место—по-прежнему $(\bar{k_{1}} \bigcup \bar{k_{2}}) \backslash (k_{1} \bigcap k_{2})$.
Найдите в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку $A$, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком $BC$.
Решение:
Если вторая сторона прямого угла проходит через точку $B$ (или $C$), то, очевидно, геометрическим местом его вершин будет сфера $O_{1}$ (рис.) с диаметром $AB$ (соответственно сфера $O_{2}$ с диаметром $AC$). Нашей целью будет доказать, что искомым геометрическим местом точек будет множество тех точек, которые лежат внутри или на поверхности хоть одной из этих сфер, но не являются внутренними для обеих сфер сразу. Кратко это множество точек можно записать так: $(\bar{k_{1}} \bigcup \bar{k_{2}}) \backslash (k_{1} \bigcap k_{2})$, где $\bar{k_{i}}$ — множество точек, лежащих внутри или на сфере $O_{i}$, а $k_{i}$ — только внутри $O_{i}$.
Для доказательства проведем через точку $A$ произвольную прямую $l$ и спроектируем ортогонально на $l$ отрезок $BC$. Пусть проекцией $BC$ будет отрезок $B_{l}C_{l}$. Очевидно, точки отрезка $B_{l}C_{l}$ и только они будут точками искомого геометрического места, лежащими на прямой $l$. Когда прямая $l$ вращается вокруг точки $A$, то точки $B_{l}$ и $C_{l}$ описывают сферы $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно, ибо эти сферы являются геометрическим местом вершин прямых углов, проходящих через $A$ и $B$ и через $A$ и $C$. Совпадать с $A$ точки $B_{l}$ и $C_{l}$ будут, когда прямая $l$ касается соответствующей сферы. Во всех других положениях прямая $l$ пересекает $O_{1}$, и $O_{2}$ в точках $B_{l}$ и $C_{l}$, а также в точке $A$.
Прямая $l$ пересекает круг $\bar{k_{1}}$ по отрезку $AB$, а круг $\bar{k_{2}}$ по отрезку $AC_{l}$. Отрезок $B_{l}C_{l}$ есть объединение $AB_{l}$ и $AC_{l}$, если $A$ лежит между $B_{l}$ и $C_{l}$, и в противном случае разность $AB_{l}$ и $AC_{l}$. Легко видеть, что в обоих случаях отрезок $B_{l}C_{l}$ есть та часть прямой $l$, которая покрыта лишь одним из отрезков $AB_{l}, AC_{l}$ с прибавлением ее концов. На чертеже для разных случаев заштриховано сечение искомой области плоскостью $ABC$.
Частный случай, когда $A$ лежит на прямой $BC$, является предельным для общего. Само геометрическое место—по-прежнему $(\bar{k_{1}} \bigcup \bar{k_{2}}) \backslash (k_{1} \bigcap k_{2})$.
