ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-03-07   
Дан тетраэдр $ABCD$. Пусть ребро $AB$ имеет длину $a$, ребро $CD$ имеет длину $b$; расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равно $d$, величина угла между этими прямыми равна $\omega$. Тетраэдр рассечен на две части плоскостью $P$, параллельной противоположным ребрам $AB$ и $CD$. Вычислите отношение объемов обеих частей, если известно, что отношение расстояний от $AB$ до $P$ к расстоянию от $CD$ до $P$ равно $k$.


Решение:


Пусть плоскость проведена на расстоянии $x$ от $CD$ (рис.). Тогда площадь сечения (оно — параллелограмм, так как $ML \parallel AB \parallel EN$ и $NL \parallel CD \parallel ME$) равна
$|ML| \cdot |ME| \cdot \sin \omega = \frac{ax}{d} \cdot \frac{b(d-x)}{d} \cdot \sin \omega$;
$v_{1} = \int_{0}^{x} \frac{ax}{d} \cdot \frac{b(d-x)}{d} \cdot \sin \omega dx = \left ( \frac{abx^{2}}{2d} - \frac{abx^{3}}{3d^{2}} \right ) \sin \omega$.
Аналогично
$v_{2} = \left ( \frac{aby^{2}}{2d} - \frac{aby^{3}}{3d^{2}} \right ) \sin \omega$,
где $y$ — расстояние от $AB$ до $P$
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{3dy^{2} – 2y^{3}}{3dx^{2} – 2x^{3}}$;
$x = \frac{d}{k+1}$; $y= \frac{dk}{k+1}$.
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{3dy^{2} – 2y^{3}}{3dx^{2} – 2x^{3}} = k^{2} \frac{3d – 2y}{3d – 2x} = k^{2} \cdot \frac{3- \frac{2k}{k+1}}{3 - \frac{2}{k+1}} = k^{2} \frac{k+3}{3k+1}$,
Т. e. $\frac{v_{1}}{v_{1}} = k^{2} \frac{(k+3)}{3k+1}$.