Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12985
2023-05-08 
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей - вписанные четырёхугольники, причём радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть - четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Решение:
Пусть части, прилегающие к вершинам $A$, $B$ и $C$ вписанного четырёхугольника $ABCD$, - вписанные четырёхугольники. Поскольку углы $A$ и $C$ четырёхугольника противолежат равным углам в точке разреза $L$, они равны, а значит, они прямые. Поэтому прямые, разрезающие четырёхугольник, перпендикулярны. Тогда углы $B$ и $D$ тоже прямые, т.е. $ABCD$ - прямоугольник, а четвёртая часть тоже является вписанным четырёхугольником. Кроме того, углы, опирающиеся на хорды $AL$, $BL$ и $CL$, равны, а т.к. радиусы этих окружностей тоже равны, то равны и сами хорды. Следовательно, $L$ - центр прямоугольника, и четвёртая окружность имеет тот же радиус.
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей - вписанные четырёхугольники, причём радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть - четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Решение:
Пусть части, прилегающие к вершинам $A$, $B$ и $C$ вписанного четырёхугольника $ABCD$, - вписанные четырёхугольники. Поскольку углы $A$ и $C$ четырёхугольника противолежат равным углам в точке разреза $L$, они равны, а значит, они прямые. Поэтому прямые, разрезающие четырёхугольник, перпендикулярны. Тогда углы $B$ и $D$ тоже прямые, т.е. $ABCD$ - прямоугольник, а четвёртая часть тоже является вписанным четырёхугольником. Кроме того, углы, опирающиеся на хорды $AL$, $BL$ и $CL$, равны, а т.к. радиусы этих окружностей тоже равны, то равны и сами хорды. Следовательно, $L$ - центр прямоугольника, и четвёртая окружность имеет тот же радиус.
