Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12983
2023-05-08 
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$ соответственно; $O$ и $I$ - центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Точка $Q$ - проекция точки $P$ на прямую $OI$. Найдите расстояние $OQ$.
Решение:
Пусть $A'$, $B'$, $C'$ - центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$, касающихся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда треугольник $A'B'C'$ остроугольный (см. задачу @H4770), $A'A$, $B'B$ и $C'C$ - его высоты (углы $A'BB'$, $A'CC'$ и $B'AA'$ прямые как углы между биссектрисами смежных углов), $I$ - ортоцентр треугольника $A'B'C'$, а т.к. $A$, $B$ и $C$ - основания его высот, то описанная окружность $\Omega$ треугольника $ABC$ является окружностью девяти точек треугольника $A'B'C'$ (см. задачу @H174). Следовательно, радиус описанной окружности $\Omega'$ треугольника $A'B'C'$ равен $2R$.
Пусть $O'$ - центр описанной окружности треугольника $A'B'C'$. Тогда центр $O$ окружности девяти точек треугольника $A'B'C'$ - середина отрезка $O'I$. Кроме того, из точек $A$ и $B$ отрезок $A'B'$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности $\Omega ''$ диаметром $A'B'$.
Отрезок $AB$ является общей хордой окружностей $\Omega$ и $\Omega ''$, а отрезок $A'B'$ - общей хордой окружностей $\Omega ''$ и $\Omega'$. Значит, прямая $AB$ - радикальная ось окружностей $\Omega$ и $\Omega ''$, а прямая $A'B'$ - радикальная ось окружностей $\Omega ''$ и $\Omega'$ (см. задачу @H6391). Точка $P$ пересечения этих прямых - радикальный центр окружностей $\Omega$, $\Omega'$ и $\Omega ''$ (см. задачу @H6393), а прямая $PQ$ - радикальная ось окружностей $\Omega$ и $\Omega'$ (т.к. проходит через радикальный центр $P$ перпендикулярно линии центров $OO'$ окружностей $\Omega$ и $\Omega'$). Следовательно,
$OQ^{2}-R^{2}=O'Q^{2}-4R^{2},~\mbox{или}~OQ^{2}-R^{2}=(OQ+OO')^{2}-4R^{2}.$
Поскольку $O'O^{2}=OI^{2}=R^{2}-2Rr$ (см. задачу @H126), после очевидных преобразований получаем, что
$OQ=\frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}.$
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$ соответственно; $O$ и $I$ - центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Точка $Q$ - проекция точки $P$ на прямую $OI$. Найдите расстояние $OQ$.
Решение:
Пусть $A'$, $B'$, $C'$ - центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$, касающихся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда треугольник $A'B'C'$ остроугольный (см. задачу @H4770), $A'A$, $B'B$ и $C'C$ - его высоты (углы $A'BB'$, $A'CC'$ и $B'AA'$ прямые как углы между биссектрисами смежных углов), $I$ - ортоцентр треугольника $A'B'C'$, а т.к. $A$, $B$ и $C$ - основания его высот, то описанная окружность $\Omega$ треугольника $ABC$ является окружностью девяти точек треугольника $A'B'C'$ (см. задачу @H174). Следовательно, радиус описанной окружности $\Omega'$ треугольника $A'B'C'$ равен $2R$.
Пусть $O'$ - центр описанной окружности треугольника $A'B'C'$. Тогда центр $O$ окружности девяти точек треугольника $A'B'C'$ - середина отрезка $O'I$. Кроме того, из точек $A$ и $B$ отрезок $A'B'$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности $\Omega ''$ диаметром $A'B'$.
Отрезок $AB$ является общей хордой окружностей $\Omega$ и $\Omega ''$, а отрезок $A'B'$ - общей хордой окружностей $\Omega ''$ и $\Omega'$. Значит, прямая $AB$ - радикальная ось окружностей $\Omega$ и $\Omega ''$, а прямая $A'B'$ - радикальная ось окружностей $\Omega ''$ и $\Omega'$ (см. задачу @H6391). Точка $P$ пересечения этих прямых - радикальный центр окружностей $\Omega$, $\Omega'$ и $\Omega ''$ (см. задачу @H6393), а прямая $PQ$ - радикальная ось окружностей $\Omega$ и $\Omega'$ (т.к. проходит через радикальный центр $P$ перпендикулярно линии центров $OO'$ окружностей $\Omega$ и $\Omega'$). Следовательно,
$OQ^{2}-R^{2}=O'Q^{2}-4R^{2},~\mbox{или}~OQ^{2}-R^{2}=(OQ+OO')^{2}-4R^{2}.$
Поскольку $O'O^{2}=OI^{2}=R^{2}-2Rr$ (см. задачу @H126), после очевидных преобразований получаем, что
$OQ=\frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}.$
