Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12975
2023-05-08 
На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке $A$. Пусть $B$ - произвольная точка одной из этих окружностей, $C$ - другой. Для каждого треугольника $ABC$ рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке $K$, причём одна окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, а другая - прямой $AC$ в точке $C$. Найдите геометрическое место точек $K$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - центры касающихся окружностей радиуса $r$. Тогда $K$ - середина отрезка $MN$,
$\angle ABM=\angle ACN=90^{\circ},~BM=MK=KN=NC=r.$
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212)
$AK^{2}=\frac{2AM^{2}+2AN^{2}-MN^{2}}{4}=\frac{2(AB^{2}+BM^{2})+2(AC^{2}+CN^{2})-4MK^{2}}{4}=\frac{2AB^{2}+2r^{2}+2AC^{2}+2r^{2}-4r^{2}}{4}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{2}.$
Таким образом, $AK$ не зависит от выбора точек $B$ и $C$ на данных окружностях. Следовательно, точка $K$ лежит на окружности с центром $A$.
Вращая треугольник $ABC$ вокруг точки $A$, можно получить любую точку этой окружности.
На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке $A$. Пусть $B$ - произвольная точка одной из этих окружностей, $C$ - другой. Для каждого треугольника $ABC$ рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке $K$, причём одна окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, а другая - прямой $AC$ в точке $C$. Найдите геометрическое место точек $K$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - центры касающихся окружностей радиуса $r$. Тогда $K$ - середина отрезка $MN$,
$\angle ABM=\angle ACN=90^{\circ},~BM=MK=KN=NC=r.$
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212)
$AK^{2}=\frac{2AM^{2}+2AN^{2}-MN^{2}}{4}=\frac{2(AB^{2}+BM^{2})+2(AC^{2}+CN^{2})-4MK^{2}}{4}=\frac{2AB^{2}+2r^{2}+2AC^{2}+2r^{2}-4r^{2}}{4}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{2}.$
Таким образом, $AK$ не зависит от выбора точек $B$ и $C$ на данных окружностях. Следовательно, точка $K$ лежит на окружности с центром $A$.
Вращая треугольник $ABC$ вокруг точки $A$, можно получить любую точку этой окружности.
