Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12971
2023-05-08 
Медианы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, причём $\angle AMB=120^{\circ}$. Докажите, что углы $AB'M$ и $BA'M$ не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Решение:
Если $AA'=BB'$, то
$A'M=\frac{1}{3}AA'=\frac{1}{3}BB'=\frac{1}{2}BM.$
Отсюда и из того, что $\angle A'MB=60^{\circ}$, получаем, что $\angle BA'M=90^{\circ}$ (см. задачу 6113). Аналогично $\angle AB'M=90^{\circ}$.
Пусть теперь $AA'\gt BB'$, $X$ - проекция точки $B$ на прямую $AA'$, $Y$ - проекция точки $A$ на прямую $BB'$. Тогда
$MX=\frac{1}{2}MB=MB'\lt MA',~MY=\frac{1}{2}MA=MA'\gt MB'$
и, следовательно,
$\angle BA'M\lt\angle BXM=90^{\circ}=\angle AYM\lt\angle AB'M.$
Медианы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, причём $\angle AMB=120^{\circ}$. Докажите, что углы $AB'M$ и $BA'M$ не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Решение:
Если $AA'=BB'$, то
$A'M=\frac{1}{3}AA'=\frac{1}{3}BB'=\frac{1}{2}BM.$
Отсюда и из того, что $\angle A'MB=60^{\circ}$, получаем, что $\angle BA'M=90^{\circ}$ (см. задачу 6113). Аналогично $\angle AB'M=90^{\circ}$.
Пусть теперь $AA'\gt BB'$, $X$ - проекция точки $B$ на прямую $AA'$, $Y$ - проекция точки $A$ на прямую $BB'$. Тогда
$MX=\frac{1}{2}MB=MB'\lt MA',~MY=\frac{1}{2}MA=MA'\gt MB'$
и, следовательно,
$\angle BA'M\lt\angle BXM=90^{\circ}=\angle AYM\lt\angle AB'M.$
