Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12970
2023-05-08 
Точки $A'$, $B'$, $C'$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BB'$ пересекает прямую $A'C'$ в точках $K$ и $L$ (точки $K$ и $A$ лежат по одну сторону от $BB'$). Докажите, что точка пересечения прямых $AK$ и $CL$ лежит на прямой $BO$, где $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть прямые $AK$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. Заметим, что
$\angle AC'B'=\angle BC'A'=\angle AC'K$
(см. задачу 3943). Значит, при симметрии относительно прямой $AB$ луч $CB'$ переходит в луч $C'K$. При этом указанная в условии окружность с центром $B$ переходит в себя (см. задачу 5281), следовательно, точка $B'$ переходит в $K$. Поскольку $AC$ - касательная к этой окружности, то $AK$ - также касательная. Аналогично, $CL$ - касательная к этой окружности. Таким образом, $MK=ML$ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Поскольку радиус $OB$ описанной окружности треугольника $ABC$ перпендикулярен хорде $KL$ (см. задачу 4271), точка $O$ равноудалена от концов отрезка $KL$. Следовательно, точки $M$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой - на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$.
Точки $A'$, $B'$, $C'$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BB'$ пересекает прямую $A'C'$ в точках $K$ и $L$ (точки $K$ и $A$ лежат по одну сторону от $BB'$). Докажите, что точка пересечения прямых $AK$ и $CL$ лежит на прямой $BO$, где $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть прямые $AK$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. Заметим, что
$\angle AC'B'=\angle BC'A'=\angle AC'K$
(см. задачу 3943). Значит, при симметрии относительно прямой $AB$ луч $CB'$ переходит в луч $C'K$. При этом указанная в условии окружность с центром $B$ переходит в себя (см. задачу 5281), следовательно, точка $B'$ переходит в $K$. Поскольку $AC$ - касательная к этой окружности, то $AK$ - также касательная. Аналогично, $CL$ - касательная к этой окружности. Таким образом, $MK=ML$ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Поскольку радиус $OB$ описанной окружности треугольника $ABC$ перпендикулярен хорде $KL$ (см. задачу 4271), точка $O$ равноудалена от концов отрезка $KL$. Следовательно, точки $M$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой - на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$.
